Дія групи Лі

У диференціальній геометрії, дія групи Лі на многовиді M є груповою дією для групи Лі G на M, що є диференційованим зображенням; зокрема, це неперервна групова дія. Разом з дією групи Лі на G, M називається G-многовидом. Орбітні типи G утворюють стратифікацію М, і це можна використовувати для розуміння геометрії М.

Нехай${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$ є груповою дією. Це дія групи Лі, якщо вона диференційована. Таким чином, зокрема, зображення орбіти ${\displaystyle \sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x}$є диференційованим і можна розрахувати його диференціал на елементі ідентичності G:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$.

Якщо X знаходиться в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то його зображення є дотичним вектором на x та, змінюючи x, отримуємо векторне поле на M; мінус цього векторного поля називається фундаментальним векторним полем, асоційованим з X та має позначення ${\displaystyle X^{\#}}$. (""Мінус" гарантує, що ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM)}$ є гомоморфізмом алгебри Лі). Ядро зображення можна легко показати алгеброю Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}}$стабілізатора ${\displaystyle G_{x}}$ (який замкнений і, таким чином, є підгрупою Лі.)

Нехай ${\displaystyle P\to M}$ основним G-зв'язком. Оскільки G має тривіальні стабілізатори у P, для u в P, ${\displaystyle a\mapsto a_{u}^{\#}:{\mathfrak {g}}\to T_{u}P}$- ізоморфізм на підпростір; цей підпростір називається вертикальним підпростором. Таким чином, фундаментальне векторне поле на P є вертикальним векторним полем..

Загалом, орбітальний простір ${\displaystyle M/G}$ не допускає різноманітну структуру, оскільки, наприклад, він не може бути Гаусдорвовим. Крім того, якщо G - компактний то ${\displaystyle M/G}$ Гаусдорфів простір і якщо, крім того, дія є вільною, то, ${\displaystyle M/G}$ є многовидом (фактично, ${\displaystyle M\to M/G}$- основний G-зв'язкок.)[1] Це наслідок теореми про фрагмент. Якщо "вільна дія" розслаблена до "кінцевого стабілізатора", то замість цього отримуємо стек фактор.

Підстановкою для побудови частки є борелівська конструкція з алгебраїчної топології: припустимо, що G компактний і нехай ${\displaystyle EG}$ позначає універсальне розшарування, яке можна вважати многовидом, оскільки G компактний, і G діє на ${\displaystyle EG\times M}$ по діагоналі; дія є вільною, оскільки вона є такою на першому факторі. Таким чином, можна сформувати фактор-множник ${\displaystyle M_{G}=(EG\times M)/G}$. Конструкція, зокрема, дозволяє визначити еквіваріантні когомології M; а саме, один набір

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})}$,

де права сторона позначає когомологію, що має сенс, оскільки ${\displaystyle M_{G}}$ має структуру многовиду (таким чином існує поняття диференціальних форм).

Якщо G компактний, то будь-який G-многовид допускає інваріантну метрику; тобто, Ріманова метрика, щодо якої G діє на М, як ізометрія.