Ергодичність

Ергоди́чність (або транзитивність) — спеціальна властивість деяких (динамічних) систем, яка полягає в тому, що в процесі еволюції такої системи майже кожна точка її з певною ймовірністю проходить поблизу будь-якої іншої точки системи. Тоді при розрахунках час, який важко розраховувати, можна замінити фазовими (просторовими) показниками. Система, в якій фазові середні збігаються з часовими, називається ергодичною.

Опис

Перевага ергодичних динамічних систем полягає в тому, що при достатньому часу спостереження такі системи можна описувати статистичними методами. Наприклад, температура газу — це міра середньої енергії молекули, ринкова ціна компанії — це міра похідних функцій від даних бухгалтерської звітності. Звісно, необхідно попередньо довести ергодичність даної системи.

Для ергодичних систем математичне сподівання по часових рядах має збігатися з математичним сподіванням по просторових рядах.

Ергодична теорія — один з розділів загальної динаміки.

Е.Лоренц висловив думку, що кліматична система є майже ергодичною, тобто її фазовий простір розпадається на ряд множин із певними умовними ймовірностними мірами , і фазові траєкторії можуть тривалий, але скінченний час перебувати у кожній з цих множин (відвторюючи відповідний клімат ) та рідко переходити з однієї з цих множин до іншої.

Едварду Лоренцу належить математичний приклад майже інтразитивної (ергодичної) системи - ідеалізована нестаціонарна тримодова роликова конвекція рідини, у якій безрозмірні функції течії й відхилення температури від лінійного вертикального профілю у площині мають вигляд

а залежність амплітуд від часу описується рівняннями:

де - числові сталі ( - Число Прандтля, - відношення Числа Релея до його критичного значення, за якого починається роликова конвекція)[1].


Приклади

  • Перетворення пекаря

Див. також

Література

  • Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи математических наук.  1967. Т. 22, вип. 5. С. 137.
  • Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М. : Наука, 1980. — 384 с.
  • Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. : ГИТТЛ, 1949. — 448 с.
  • Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. М. : Фазис, 1996. — 132 с.
  • Халмош П. Лекции по эргодической теории. М. : ИЛ, 1959. — 148 с.
  • Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. М.-Л. : ГИТТЛ, 1943. — 128 с.
  • G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
  • J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
  • J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.
  • U. Krengel. Ergodic Theorems. Berlin — New York: W. de Gruyter, 1985.

Посилання

  1. А.С.Монин - Введение в теорию климата.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.