Ермітів оператор

Обмежений лінійний оператор $A:H\to H$ у комплексному гільбертовому просторі називається ермітовим, якщо для всіх $u,v\in H$ виконується тотожність

(Au,v)=(u,Av)\,,

що записується також як $A=A^{\dagger }.$ Ермітові оператори відіграють важливу роль у квантовій механіці. У рівнянні Шредінгера вимірюваним фізичним величинам відповідають ермітові (насправді, самоспряжні) оператори у гільбертовому просторі векторів стану[1].

Характеризації ермітових операторів

Наступні властивості обмеженного лінійного оператора $A$ у комплексному гільбертовому просторі $H$ виконуються тоді і тільки тоді, коли цей оператор — ермітовий.

Матриця $A$ відносно довільного ортогонального базису $H$ є ермітовою.
В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є ермітовою.
В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є діагональною з дійсними елементами.
В $H$ існує ортогональний базис утворений з власних векторів оператора $A$ з дійсними власними значеннями.

Див. також

Самоспряжний оператор

Примітки

У квантовій механіці оператори позначаються символами з дашком, наприклад ${\hat {A}}$

Джерела

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] У квантовій механіці оператори позначаються символами з дашком, наприклад ${\hat {A}}$