Квадратні трикутні числа

Якщо позначити N_k для k-го квадратного трикутного числа, а s_k і t_k прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа N = n(n + 1)2 як n. З цього визначення та квадратичної формули,

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Тому, N є трикутним числом (для цілого n) тоді й лише тоді, коли 8N + 1 є квадратом. Відповідно, квадратне число M² є трикутним числом тоді й лише тоді, коли 8M² + 1 є квадратом, тобто, коли існують числа x і y, для яких x² − 8y² = 1. Це є випадком рівняння Пелля для n = 8. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення x = 1, y = 0 для будь-якогоn; це також називається нульовим рішенням, та індексується як (x₀, y₀) = (1,0). Якщо (x_k, y_k) позначає k-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного n, воно може бути зображено методом спуска, тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого n, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для n = 8 легко знайти: це (3,1). Рішення (x_k, y_k) для рівняння Пелля для n = 8 дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:

${\displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), є 36.

Послідовності N_k, s_k і t_k є відповідно послідовностями OEIS  A001110,  A001109 і  A001108.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу[1][2]^:12–13

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Відповідні детальні формули для s_k і t_k є наступними:[2]^:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.[3]

Кожне трикутне число має форму t(t + 1)2, тому потрібно шукати такі цілі числа t, s, що

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$

Трансформуючи, отримуємо

${\displaystyle \left(2t+1\right)^{2}=8s^{2}+1,}$

а тоді, підставляючи x = 2t + 1 і y = 2s, отримуємо Діофантове рівняння

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля P_k, а саме[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

а тому всі рішення можна записати як

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо[5]^:(12)

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Маємо[1][2]^:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{де }}s_{0}&=0{\text{ і }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{де }}t_{0}&=0{\text{ і }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Всі квадратні трикутні числа мають форму b²c², де bc є наближенням до ланцюгового дробу для √2.[6]

А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:[7]

Якщо n-не трикутне число n(n + 1)2 є квадратним, то і більше 4n(n + 1)-не трикутне число є таким, оскільки:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, n(n + 1)2 (початкове квадратне трикутне число) та (2n + 1)².

Трикутні корені t_k є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо k є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо k непарним числом. Так,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², і

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають s_k: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, і 29 × 41 = 1189.^{[джерело?]}

Додатково:

${\displaystyle N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};}$

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.^{[джерело?]}

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:[8]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

По мірі зростання k, співвідношення t_ks_k наближається до √2 ≈ 7000141421356000000♠1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 7001339705627480000♠33.970562748. Таблиця нижче дає значення k між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 7016100000000000000♠10¹⁶.

k	Nk	sk	tk	tksk	NkNk − 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	7000133333333000000♠1.33333333	36
3	7003122500000000000♠1225	35	49	1.4	7001340277777780000♠34.027777778
4	7004416160000000000♠41616	204	288	7000141176471000000♠1.41176471	7001339722448980000♠33.972244898
5	7006141372100000000♠1413721	7003118900000000000♠1189	7003168100000000000♠1681	7000141379310000000♠1.41379310	7001339706122650000♠33.970612265
6	7007480249000000000♠48024900	7003693000000000000♠6930	7003980000000000000♠9800	7000141414141000000♠1.41414141	7001339705642060000♠33.970564206
7	7009163143288100000♠1631432881	7004403910000000000♠40391	7004571210000000000♠57121	7000141420118000000♠1.41420118	7001339705627910000♠33.970562791
8	7010554206930560000♠55420693056	7005235416000000000♠235416	7005332928000000000♠332928	7000141421144000000♠1.41421144	7001339705627500000♠33.970562750
9	7012188267213102500♠1882672131025	7006137210500000000♠1372105	7006194044900000000♠1940449	7000141421320000000♠1.41421320	7001339705627490000♠33.970562749
10	7013639554317617960♠63955431761796	7006799721400000000♠7997214	7007113097680000000♠11309768	7000141421350000000♠1.41421350	7001339705627480000♠33.970562748
11	7015217260200777004♠2172602007770041	7007466111790000000♠46611179	7007659181610000000♠65918161	7000141421355000000♠1.41421355	7001339705627480000♠33.970562748

• Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
• Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними
• Квадратне число
• Центроване квадратне число

• Трикутні числа, які також квадратні на cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Рішення Майкла Даммета