Ланцюговий дріб

Будь-яке дійсне число ${\displaystyle x}$ може бути представлене ланцюговим дробом ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$, де

${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}$

${\displaystyle \dots }$

де ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ позначає цілу частину числа ${\displaystyle x}$.

Для раціонального числа ${\displaystyle x}$ цей розклад завершиться після одержання нульового ${\displaystyle x_{n}}$ для деякого n. В цьому випадку ${\displaystyle x}$ представляється скінченним ланцюговим дробом ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}$.

Для ірраціонального ${\displaystyle x}$ всі величини ${\displaystyle x_{n}}$ будуть ненульовими и процес розкладу можна продовжувати нескінченно.

Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.

Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
${\displaystyle 3\,}$	${\displaystyle 3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,}$	${\displaystyle =0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,}$	${\displaystyle 1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,}$	${\displaystyle =4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,}$
${\displaystyle 4\,}$	${\displaystyle 4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,}$	${\displaystyle =0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,}$	${\displaystyle 1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,}$	${\displaystyle =12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,}$
${\displaystyle 12\,}$	${\displaystyle 12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,}$	${\displaystyle =0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,}$	${\displaystyle 1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,}$	${\displaystyle =4.000\,}$
${\displaystyle 4\,}$	${\displaystyle 4.000-4\,}$	${\displaystyle =0.000\,}$	STOP
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
${\displaystyle 3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}}$

• ${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}$

якщо проте використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності: ${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

• ${\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!.}$

Якщоn ціле число більше одиниці,

• ${\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}$

Якщо також n парне:

• ${\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}$

при n = 1:

• ${\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}$

• ${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}$

якщо n додатне число; також

• ${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]\,\!}$

якщо n > 1,

• ${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ]\,\!.}$

• Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:

${\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}$

• Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Наприклад:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}$

золотий поділ ${\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}$

• Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
• Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2.6854520010...)

n-им наближеним дробом для ланцюгового дробу ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$, називається скінченний ланцюговий дріб ${\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}$, значення якого можна подати ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$.

• Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні  - спадну. Обидві послідовності збігаються до x.
• Виконуються наступні рекурентні співвідношення:

${\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}$

${\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}$

• ${\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},}$

  ${\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}$

Звідси випливає наступне твердження:

• наближений дріб ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ є найкращим наближенням для ${\displaystyle x}$ серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує ${\displaystyle q_{n}}$;

• при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:

${\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }$

Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.

• Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана ${\displaystyle \zeta (3)}$ числа пі.
• Алгоритми факторизації SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональних многочленів
• Характеристика стабільних многочленів
• Алгоритм Ланцоша використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.

• В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)
• А. А. Бухштаб. Теория чисел. — Просвещение, 1966. — 384 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
• С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — 2009. — 138 с.
• И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Просвещение, 1965. — С. 253—254.
• Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М. : Наука, 1965.
• С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.
• Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants. Berlin: Springer-Verlag; 1991. - VIII + 551 pages. / Chapter 4. Golden Age. Pages 97-140.
• G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383-421
• J. Widž. From the History of Continued Fractions // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176–181, 2009