Квантування Дірака

Поле, створене магнітним монополем, може бути описано векторним-потенціалом ${\displaystyle A_{\mu }}$. Якщо допустити існування стрибка ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ на деякій (довільній) поверхні ${\displaystyle S}$, яка перетинає магнітний монополь і ділить простір на дві зв'язні частини[1]. Тоді напруженість поля неперервна на поверхні ${\displaystyle S}$ всюди, крім точки розташування магнітного монополя, а сама поверхня може бути довільним чином деформована за допомогою калібрувальних перетворень. Циркуляція стрибка ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на будь-якому контурі, що лежить на ${\displaystyle S}$ і захвачує магнітний монополь, рівна магнітному потоку, який витікає з магнітного монополя, тобто є рівна (згідно з теоремою Гауса) заряду ${\displaystyle g}$. Контурний інтеграл від 4-вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ дає вклад в фазу ${\displaystyle \phi }$ хвильової функції електрично зарядженої частки, і стрибок ${\displaystyle \phi }$, який відповідає стрибку ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ на поверхні ${\displaystyle S}$, рівний ${\displaystyle \Delta \phi =eg/\hbar c}$. При виконанні умови Дірака

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {eg}{\hbar c}}=2\pi n}$,

хвильова функція є неперервною у всьому просторі. До того ж стрибок ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ не дає вкладу в напруженість магнітного поля, яка визначається законом Кулона, і тому поверхня ${\displaystyle S}$ є неспостережна. Як цю поверхню можна вибрати конус, що прямує до нескінченності, на вершині якого і знаходиться магнітний монополь, а кут при вершині є досить малим («струна», плі «нитка», Дірака).

Можна показати (Тамм, 1931), що ефект магнітного монополя зводиться до заміни ${\displaystyle l(l+1)}$ на ${\displaystyle l(l+1)-1/4n^{2}}$ (n — ціле число в умові Дірака) у відцентровому потенціалі радіального рівняння Шредінгера[2], при цьому орбіт, (кутовий момент) ${\displaystyle l}$ може приймати значення:

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{2}}|n|;{\frac {1}{2}}|n|+1;{\frac {1}{2}}|n|+2;...}$.

${\displaystyle l_{1}=1/2;3/2;5/2;...}$ при ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle l_{2}=1;2;3;...}$ при ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle l_{3}=3/2;5/2;7/2;...}$ при ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle l_{4}=2;3;4;...}$ при ${\displaystyle n=4}$.

Виглядає досить дивним, проте ці дробові числа збігаються з т.з. числами заповнення рівнів Ландау в квантовому ефекті Хола, котрий на перший погляд не має ніякого відношення до монополів Дірака (сучасна теорія КЕХ враховує тільки квантування магнітного поля, а електричне поле просто ігнорується).

Слід відзначити, що при непарному n, система з двох безспінових часток завдяки ненульовій дивергенції магнітного поля має напівцілий кутовий момент. Таким чином, з двох бозонів із ненульовими повними електричним та магнітним зарядами створюється діон, який підкоряється статистиці Фермі — Дірака. Аналогічним чином, зв'язаний стан бозону та ферміону може бути бозоном.

• Магнітний монополь
• Квантовий ефект Хола
• Ефект Аронова-Бома