Напруженість електричного поля

Повна сила, з якою електромагнітне поле (що включає електричну і магнітну складові) діє на заряджену частинку, виражається формулою сили Лоренца:

${\displaystyle {\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}[{\vec {v}}\times {\vec {B}}]}$,

де ${\displaystyle q^{*}}$ — електричний заряд частинки, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — її швидкість, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — вектор магнітної індукції; косим хрестом ${\displaystyle \times }$ позначено векторний добуток. Формулу наведено в одиницях SI.

Ця формула є загальнішою, ніж наведена у визначенні напруженості електричного поля, оскільки включає в себе також дію на заряджену частинку (якщо та рухається) з боку магнітного поля.

Частинка вважається точковою. Однак ця формула дозволяє розрахувати і сили, що діють з боку електромагнітного поля на тіла будь-якої форми з будь-яким розподілом зарядів і струмів — якщо скористатися звичайним для фізики прийомом розбиття складного тіла на маленькі (математично-нескінченно малі) частини, кожна з яких може вважатися точковою і таким чином входить в область застосовності формули Лоренца. Зрозуміло, для того, щоб скористатися цією формулою (навіть у простих випадках, таких, як розрахунок сили взаємодії двох точкових зарядів), необхідно вміти розраховувати ${\displaystyle {\vec {E}}}$ і ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Решта формул, що застосовуються для розрахунку електромагнітних сил (наприклад, формулу для сили Ампера) можна вважати наслідками[3] фундаментальної формули сили Лоренца або частковими випадками її застосування.

Достатнім разом з формулою сили Лоренца теоретичним фундаментом класичної електродинаміки є рівняння електромагнітного поля, звані рівняннями Максвелла. Їх стандартна традиційна форма являє собою чотири рівняння, до трьох із яких входить вектор напруженості електричного поля:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} {\vec {E}}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},&\operatorname {rot} {\vec {E}}&=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},\\\operatorname {div} {\vec {B}}&=0,&\operatorname {rot} {\vec {B}}&=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}.\end{aligned}}}$

Тут ${\displaystyle \rho }$ — густина заряду, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — густина струму, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — електрична стала, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнітна стала, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла (рівняння записані в системі SI). У наведеному вигляді рівняння Максвелла є «рівняннями для вакууму» (їх загальніший варіант, застосовний і для опису поведінки електромагнітного поля в середовищі, а також інші форми запису рівнянь — див. у статті Рівняння Максвелла).

Цих чотирьох рівнянь разом з п'ятим — рівнянням сили Лоренца — в принципі достатньо, щоб повністю описати класичну (не квантову) електродинаміку, тобто вони представляють її повні закони. Для вирішення реальних задач за їх допомогою необхідні ще рівняння руху «матеріальних частинок» (у класичній механіці це закони Ньютона), а також додаткова інформація про конкретні властивості розглянутих фізичних тіл і середовищ (їхні пружності, електропровідності, поляризованості тощо) та про інші сили, що беруть участь у задачі (наприклад, про гравітацію), однак вся ця інформація вже не входить у рамки електродинаміки як такої, хоча й виявляється часто необхідною для побудови замкнутої системи рівнянь, що дозволяють розв'язати ту чи іншу конкретну задачу в цілому.

Друге рівняння Максвелла

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$,

де ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — вектор магнітної індукції, стверджує, що джерелом електричного поля може бути змінне магнітне поле.

Додатковими формулами (зазвичай не точними, а наближеними або іноді навіть емпіричними), які використовуються в класичній електродинаміці при вирішенні практичних завдань і носять назву «матеріальних рівнянь», є

• закон Ома;
• закон поляризації;
• у різних випадках багато інших формул і співвідношень.

Зв'язок напруженості електричного поля з потенціалами в загальному випадку такий:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},}$

де ${\displaystyle \varphi ,{\vec {A}}}$ — скалярний і векторний потенціали,

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {rot} {\vec {A}}.}$

В частковому випадку стаціонарних (не змінних з часом) полів перше рівняння спрощується до

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi .}$

Цей вираз пов'язує електростатичне поле з електростатичним потенціалом.

Теоретично і практично важливим випадком є ситуація, коли заряджені тіла нерухомі (наприклад, досліджується стан рівноваги) або швидкість їх руху досить мала, щоб можна було наближено скористатися способами розрахунку, справедливими для нерухомих тіл. Цим випадком займається розділ електродинаміки, званий електростатикою.

Як зазначено вище, напруженість електричного поля в цьому випадку виражається через скалярний потенціал як

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi }$

або

${\displaystyle E_{x}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\quad E_{y}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\quad E_{z}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},}$

тобто електростатичне поле виявляється потенціальним полем. (${\displaystyle \varphi }$ в цьому випадку — випадку електростатики — прийнято називати електростатичним потенціалом).

Правомірним є й зворотне співвідношення:

${\displaystyle \varphi =-\int {\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}.}$

Рівняння Максвелла при цьому також дуже спрощуються (рівняння з магнітним полем можна взагалі виключити, а в рівняння з дивергенцією можна підставити ${\displaystyle -\nabla \varphi }$) і зводяться до рівняння Пуассона:

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},}$

а в ділянках, вільних від заряджених частинок — до рівняння Лапласа:

${\displaystyle \Delta \varphi =0.}$

Враховуючи лінійність цих рівнянь, а отже, застосовність до них принципу суперпозиції, достатньо знайти поле одного точкового одиничного заряду, щоб потім знайти потенціал або напруженість поля, створюваного будь-яким розподілом зарядів (підсумовуючи розв'язки для точкових зарядів).

У електростатиці широко використовується теорема Гауса, зміст якої зводиться до інтегральної форми єдиного нетривіального для електростатики рівняння Максвелла:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {dS}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},}$

де інтегрування проводиться за будь-якою замкнутою поверхнею ${\displaystyle S}$ (обчислюючи потік ${\displaystyle {\vec {E}}}$ через цю поверхню), ${\displaystyle Q}$ — повний (сумарний) заряд усередині цієї поверхні.

Ця теорема дає зручний спосіб розрахунку напруженості електричного поля в разі, коли джерела поля мають високу симетрію: сферичну, циліндричну або дзеркальну + трансляційну. Зокрема, таким способом легко знаходити поле точкового заряду, сфери, циліндра, площини.

Для точкового заряду в електростатиці виконується закон Кулона, який у системі SI має вигляд:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r}},}$

або

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{r}},}$

${\displaystyle E\equiv |{\vec {E}}|={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}.}$

Історично закон Кулона відкрито першим, хоча з теоретичної точки зору рівняння Максвелла фундаментальніші. З цієї точки зору він є їх наслідком. Отримати цей результат найпростіше, виходячи з теореми Гауса, враховуючи сферичну симетрію задачі: вибрати поверхню ${\displaystyle S}$ у вигляді сфери з центром у точковому заряді, врахувати, що напрямок ${\displaystyle {\vec {E}}}$ буде очевидно радіальним, а модуль цього вектора однаковий скрізь на обраній сфері (так що ${\displaystyle E}$ можна винести за знак інтеграла), і тоді, враховуючи формулу для площі сфери радіуса ${\displaystyle r}$: ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$, маємо ${\displaystyle 4\pi r^{2}E=q/\varepsilon _{0}}$, звідки відразу отримуємо відповідь для ${\displaystyle E}$.

Відповідь для ${\displaystyle \varphi }$ виходить інтегруванням ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \varphi =-\int {\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=-\int E\,dr.}$

Для системи СГС формули і їх виведення аналогічні, відмінність від SI лише в константах:

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{r}},}$

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}},}$

${\displaystyle E=|{\vec {E}}|={\frac {q}{r^{2}}}.}$

За принципом суперпозиції для напруженості поля сукупності дискретних джерел маємо:

${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}+{\vec {E}}_{3}+\dots ,}$

де кожне

${\displaystyle {\vec {E}}_{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}}{(\Delta {\vec {r}}_{i})^{2}}}{\frac {\Delta {\vec {r}}_{i}}{|\Delta {\vec {r}}_{i}|}},}$

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}.}$

Підставивши, отримуємо:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\sum \limits _{i}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}}{(\Delta {\vec {r}}_{i})^{2}}}{\frac {\Delta {\vec {r}}_{i}}{|\Delta {\vec {r}}_{i}|}},}$

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}.}$

Для неперервного розподілу аналогічно:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\int \limits _{V}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\rho ({\vec {\hat {r}}})\,dV}{({\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}})^{2}}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}}{|{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}|}},}$

де ${\displaystyle V}$ — ділянка простору, де розташовані заряди (ненульова густина заряду), або весь простір, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радіус-вектор точки, для якої рахуємо ${\displaystyle {\vec {E}}}$, ${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}}$ — радіус-вектор джерела, який пробігає всі точки ділянки ${\displaystyle V}$ при інтегруванні, ${\displaystyle dV}$ — елемент об'єму. Можна підставити ${\displaystyle x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}$ замість ${\displaystyle {\vec {r}}}$; ${\displaystyle {\hat {x}}{\vec {i}}+{\hat {y}}{\vec {j}}+{\hat {z}}{\vec {k}}}$ замість ${\displaystyle {\vec {\hat {r}}}}$; ${\displaystyle d{\hat {x}}\,d{\hat {y}}\,d{\hat {z}}}$ замість ${\displaystyle dV}$.

У випадку різкої границі між середовищами вектор напруженості електричного поля не може бути визначений із диференціальних рівнянь Максвелла, оскільки при розривах у полях похідні невизначені. В такому випадку використовуються граничні умови. Щодо напруженості електричного поля гранична умова Максвелла вимагає тангенціальних складових цього вектора.

${\displaystyle E_{t}^{(1)}=E_{t}^{(2)}}$.

Тут індекси вгорі характеризують середовища.

На поверхні ідеального провідника тангенціальна складова вектора напруженості електричного поля дорівнює нулю.

Нормальна складова напруженості електричного поля в загальному випадку неперервною не є. Неперервність зберігає нормальна складова вектора електричної індукції.

В електроустановках надвисокої напруги напруженість електричного поля вимірюють приладами типу ПЗ-1, ПЗ-1М тощо.

Вимірювач напруженості електричного поля працює так: в антені приладу електричне поле створює ЕРС яка посилюється за допомогою транзисторного підсилювача, випрямляється напівпровідниковими діодами і вимірюється мікроамперметром. Антена являє собою симетричний диполь, виконаний у вигляді двох металевих пластин, розміщених одна над іншою. Оскільки наведена в симетричному диполі ЕРС пропорційна напруженості електричного поля, шкалу мікроамперметра проградуйовано в кіловольтах на метр (кВ/м).

Вимірювання напруженості має проводитися у всій зоні, де може перебувати людина в процесі виконання роботи. Найбільше виміряне значення напруженості є визначальним. При розміщенні робочого місця на землі найбільша напруженість зазвичай буває на висоті зросту людини.

Точки вимірювання вибирають за ГОСТ 12.1.002[6] залежно від розташування робочого місця і від оснащення його засобами захисту згідно з таблицею: