Теорема Гауса

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV}$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho }$.

В системі ISQ цей вираз має вигляд:

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho }$

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV}$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

${\displaystyle \rho =\rho _{b}+\rho _{f}}$,

де ${\displaystyle \rho _{b}}$ — густина зв'язаних зарядів, ${\displaystyle \rho _{f}}$ — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: ${\displaystyle \rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P} }$.

Тоді теорема Гауса записується у вигляді

${\displaystyle \int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV}$.

Вводячи вектор електричної індукції

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} }$,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV}$,

або в диференціальній формі

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}}$.

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0.\,}$

• Теорема Остроградського-Гауса

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.