Підгрупа кручення

Підгрупа кручення — підгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи $A$ позначається $\operatorname {Tor} \,A$ .

Підгрупою p-кручення $\operatorname {Tor} _{p}\,A$ називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається групою без кручень.

Властивості і приклади

Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:

A_{T}=\bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;

Будь-яка скінченнопороджена абелева група може бути розкладена в пряму суму вигляду

A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tor} \,A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor} _{p_{i}}\,A

де

p_{i}

— прості числа.

Факторгрупа $A/\operatorname {Tor} \,A$ є групою без кручень.
Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:

< x, y | x² = y² = 1 >

елементи x і y мають порядок 2, проте елементи xy і yx мають нескінченні порядки.

Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.

Див. також

Скрут (алгебра)

Література

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.