Білінійна форма

Нехай ${\displaystyle V\cong \mathbb {K} ^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-вимірний векторний простір з базисом ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}}$.

Матрицю ${\displaystyle A}$ розмірності ${\displaystyle (n\times n)}$, елементи якої визначаються як ${\displaystyle A_{ij}=B({\boldsymbol {e}}_{i},{\boldsymbol {e}}_{j})}$, називають матрицею білінійної форми у базисі ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}}$.

• Якщо ${\displaystyle (n\times 1)}$ — матриця ${\displaystyle x}$ представляє вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ у цьому базисі, аналогічно ${\displaystyle y}$ відповідає іншому вектору ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, то

${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}A{\boldsymbol {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j},}$

де ${\displaystyle A}$ — квадратна матриця з елементами ${\displaystyle a_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$.

• Якщо ${\displaystyle \{{\boldsymbol {f}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {f}}_{n}\}}$ деякий інший базис в ${\displaystyle V}$, де ${\displaystyle S}$ — невироджена матриця, то

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}{\boldsymbol {e}}_{i}.}$

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

${\displaystyle A'=S^{T}AS.}$

Будь-яка білінійна форма ${\displaystyle B}$ на просторі ${\displaystyle V}$ визначає пару лінійних відображень з простору ${\displaystyle V}$ у спряжений до нього простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. Визначимо ${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ як

${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}),}$

${\displaystyle B_{2}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).}$

Часто ці відображення позначається як

${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {v}},\cdot ),}$

${\displaystyle B_{2}({\boldsymbol {v}})=B(\cdot ,{\boldsymbol {v}}),}$

де ${\displaystyle (\cdot )}$ вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).

Для скінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$, якщо будь-яке з відображень ${\displaystyle B_{1}}$ або ${\displaystyle B_{2}}$ є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму ${\displaystyle B}$ називають невиродженою. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:

${\displaystyle B(x,y)=0\,}$ для усіх ${\displaystyle y\in V}$ передбачає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=0}$ i

${\displaystyle B(x,y)=0\,}$ для усіх ${\displaystyle x\in V}$ передбачає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=0.}$

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення ${\displaystyle V\rightarrow V^{\ast }}$ є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар ${\displaystyle B(x,y)=2xy}$ є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з ${\displaystyle V={\mathbb {Z} }}$ на ${\displaystyle V^{\ast }={\mathbb {Z} }}$ є множенням на 2.

Якщо простір ${\displaystyle V}$ — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір ${\displaystyle V}$ з двічі спряженим простором ${\displaystyle V^{\ast \ast }}$. Можна показати, що відображення ${\displaystyle B_{2}}$ є транспонуванням лінійного відображення ${\displaystyle B_{1}}$ (якщо простір ${\displaystyle V}$ нескінченновимірний, то ${\displaystyle B_{2}}$ — транспонування ${\displaystyle B_{1}}$, обмежене образом простору ${\displaystyle V}$ у просторі ${\displaystyle V^{\ast \ast }}$). Для заданого відображення ${\displaystyle B}$ можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином

${\displaystyle {}^{\rm {t}}B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).}$

Лівий і правий радикали білінійної форми ${\displaystyle B}$ є ядрами відображень ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}}$, відповідно;[2] вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.[3]

Якщо простір ${\displaystyle V}$ — скінченновимірний, тоді ранг відображення ${\displaystyle B_{1}}$ дорівнює рангу відображення ${\displaystyle B_{2}}$. Якщо це значення дорівнює ${\displaystyle \dim V}$, тоді відображення ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}}$ є лінійними ізоморфізмами з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. У цьому випадку білінійна форма ${\displaystyle B}$ є невиродженою. За теоремою про ранг ядра це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:

Означення: Відображення ${\displaystyle B}$ є невиродженим, якщо з умови ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$, яка виконується для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, випливає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}}$.

Для будь-якого лінійного відображення ${\displaystyle A\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ можна отримати білінійну форму ${\displaystyle B}$ у просторі ${\displaystyle V}$ як

${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=A({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}}).}$

Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення ${\displaystyle A}$ є ізоморфізмом.

Якщо простір ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору ${\displaystyle V}$, білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма ${\displaystyle B({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=2xy}$ над полем цілих чисел.

Визначаємо білінійну форму як

• симетричну, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$;
• знакозмінну, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})=0}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$;
• кососиметричну, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=-B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$.

Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.

Доведення: Це можна побачити, розписавши ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}};{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})}$.

Якщо характеристика поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )=2}$, то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення ${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ рівні (${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=B_{2}({\boldsymbol {v}})}$), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком ((${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=-B_{2}({\boldsymbol {v}})}$). Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$, то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:

${\displaystyle B^{+}={\frac {1}{2}}(B+{}^{\rm {t}}B),\quad B^{-}={\frac {1}{2}}(B-{}^{\rm {t}}B),}$

де ${\displaystyle {}^{\rm {t}}B}$ — відображення транспоноване до ${\displaystyle B}$ (визначене вище).

${\displaystyle B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})\quad \to \quad B=B^{+}+B^{-}}$

• Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо ${\displaystyle \forall x\neq 0}$: ${\displaystyle B(x,x)>0}$ або ${\displaystyle B(x,x)<0}$.

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

• Маючи білінійну форму ${\displaystyle B}$ (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:

${\displaystyle Q({\boldsymbol {u}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}).}$

• І навпаки, маючи квадратичну форму ${\displaystyle Q}$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{4}}\left(Q({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})-Q({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}})\right).}$

Для будь-якої білінійної форми ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ існує асоційована квадратична форма ${\displaystyle Q\colon V\rightarrow \mathbb {K} }$, визначена як ${\displaystyle Q\colon V\rightarrow \mathbb {K} \colon {\boldsymbol {v}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})}$.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$, то квадратична форма ${\displaystyle Q}$ визначається симетричною частиною білінійної форми ${\displaystyle B}$ і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )=2}$ і ${\displaystyle \dim V>1}$, то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

Означення: Білінійна форма ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ називається рефлексивною, якщо із ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$ випливає, що і ${\displaystyle B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})=0}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}\in V}$.

Означення: Нехай ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ — рефлексивна білінійна форма. Вектори ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ простору ${\displaystyle V}$ є ортогональними відносно ${\displaystyle B}$, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$.

Білінійна форма ${\displaystyle B}$ є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична.[4] За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ з матричним представленням ${\displaystyle x}$ знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням ${\displaystyle A}$, тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle Ax=0\Leftrightarrow x^{\top }A=0}$. Радикал — це завжди підпростір простору${\displaystyle V}$. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця ${\displaystyle A}$ невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай ${\displaystyle W}$ є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення[5] як

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\mid B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0\ \forall {\boldsymbol {w}}\in W\right\}.}$

Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення ${\displaystyle V/W\rightarrow W^{\bot }}$ є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення ${\displaystyle W^{\bot }}$ дорівнює ${\displaystyle \dim V-\dim W}$.

Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле

${\displaystyle B\colon \ V\times V\rightarrow \mathbb {K} .}$

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle W^{\ast }}$ і з простору ${\displaystyle W}$ у простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму ${\displaystyle B}$ називають досконалим утворюванням пар.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$ вигляду ${\displaystyle (x,y)\mapsto 2xy}$ є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні ${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ^{\ast }}$.

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку".[6] Для їх визначення він використовує діагональні матриці ${\displaystyle A_{ij}}$, що мають лише ${\displaystyle +1}$ або ${\displaystyle -1}$ для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є cимплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ розлядаються поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ і кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Білінійна форма

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$

називається дійсним симетричним випадком і позначається як ${\displaystyle \mathbb {R} (p,q)}$, де ${\displaystyle p+q=n}$. Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.[7]

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок ${\displaystyle \mathbb {R} (n,0)}$ називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса, ${\displaystyle \mathbb {R} (n-1,1)}$ — простором Лоренца.

Якщо ${\displaystyle n=4}$, то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.

Частинний випадок ${\displaystyle \mathbb {R} (p,p)}$ будемо називати розщепленим випадком.

Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі ${\displaystyle V}$ і лінійними відображеннями ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$. Якщо ${\displaystyle B}$ є білінійною формою у просторі ${\displaystyle V}$, то відповідне лінійне відображення визначається як

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}).}$

В іншому напрямку, якщо ${\displaystyle F\colon V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$ є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією ${\displaystyle F}$ з білінійним відображенням ${\displaystyle V\times V\rightarrow V\otimes V}$, яка відображає ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})}$ у ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}$.

Множина всіх лінійних відображень ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$ є спряженим простором для ${\displaystyle V\otimes V}$, тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору ${\displaystyle (V\otimes V)^{\ast }}$, який (для скінченновимірного простору ${\displaystyle V}$) канонічно ізоморфний простору ${\displaystyle V^{\ast }\otimes V^{\ast }}$.

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з ${\displaystyle {\rm {Sym}}^{2}(V^{\ast })}$ (друга симетрична степінь простору ${\displaystyle V^{\ast }}$), і знакозмінні білінійні форм як елементи з ${\displaystyle \wedge ^{2}V^{\ast }}$ (друга зовнішня степінь простору ${\displaystyle V^{\ast }}$).

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$ є обмеженою, якщо існує константа ${\displaystyle C}$, що для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})\leq C||{\boldsymbol {u}}||||{\boldsymbol {v}}||.}$

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$ є еліптичною, або коерцитивною, якщо існує константа ${\displaystyle c>0}$, така, що для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})\geq c||{\boldsymbol {u}}||^{2}.}$

Нехай задано кільце ${\displaystyle R}$ і правий ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ та його спряжений модуль ${\displaystyle M^{\ast }}$, відображення ${\displaystyle B\colon M\times M\rightarrow \mathbb {K} }$ називається білінійною формою, якщо

${\displaystyle B(u+v,x)=B(u,x)+B(v,x),}$

${\displaystyle B(u,x+y)=B(u,x)+B(u,y),}$

${\displaystyle B(\alpha x,x\beta )=\alpha B(u,x)\beta .}$

для всіх ${\displaystyle u,v\in M^{\ast }}$, всіх ${\displaystyle x,y\in M}$ і всіх ${\displaystyle \alpha ,\beta \in R}$.

Відображення ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto u(x)}$ відоме як природне утворювання пар, яке також називають канонічною білінійною формою на ${\displaystyle M^{\ast }\times M}$[8].

Лінійне відображення ${\displaystyle S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto S(u)}$ індукує білінійну форму ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (S(u),x)}$, а лінійне відображення ${\displaystyle T\colon M\rightarrow M\colon x\mapsto T(x)}$ індукує білінійну форму ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (u,T(x))}$.

І навпаки, білінійна форма ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R}$ індукує ${\displaystyle R}$-лінійні відображення ${\displaystyle S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto (x\mapsto B(u,x))}$ і ${\displaystyle T^{'}\colon M\rightarrow M^{\ast \ast }\colon x\mapsto (u\mapsto B(u,x))}$. Тут ${\displaystyle M^{\ast \ast }}$ позначає подвійний спряжений модуль для модуля ${\displaystyle M}$.

• Білінійне відображення
• Білінійний оператор
• Простір із внутрішнім добутком (предгільбертовий простір)
• Лінійна форма
• Полілінійна форма
• Квадратична форма
• Півторалінійна форма
• Полярний простір

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Graduate Texts in Mathematics 136. Springer-Verlag. ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003.
• Bourbaki, N. (1970). Algebra. Springer.
• Cooperstein, Bruce (2010). Ch 8: Bilinear Forms and Maps. Advanced Linear Algebra. CRC Press. с. 249–88. ISBN 978-1-4398-2966-0.
• Grove, Larry C. (1997). Groups and characters. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-16340-4.
• Halmos, Paul R. (1974). Finite-dimensional vector spaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90093-3. Zbl 0288.15002.
• Harvey, F. Reese (1990). Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces. Spinors and calibrations. Academic Press. с. 19–40. ISBN 0-12-329650-1.
• Popov, V. L. (1987). Bilinear form. У Hazewinkel, M. Encyclopedia of Mathematics (Kluwer Academic Publishers) 1: 390–392.. Also: Білінійна форма, с. 390, на «Google Books»
• Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (вид. 2nd). ISBN 978-0-486-47189-1.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
• Porteous, Ian R. (1995). Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9.
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
• Shilov, Georgi E. (1977). У Silverman, Richard A. Linear Algebra. Dover. ISBN 0-486-63518-X.
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006). Principal Structures and Methods of Representation Theory. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3731-1.

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Bilinear form. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Bilinear form на PlanetMath

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)