Конденсація Бозе — Ейнштейна

Ймовірність того, що бозон перебуватиме у стані з енергією ε_n при температурі T, визначається розподілом Бозе — Ейнштейна

${\displaystyle f(\varepsilon _{n})={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}-1}}}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана.

Оскільки ймовірність — додатна величина, хімічний потенціал у розподілі Бозе — Ейнштейна повинен бути меншим за енергію будь-якого стану системи.

Для системи N бозонів хімічний потенціал визначається з умови

${\displaystyle N=\sum _{n}f(\varepsilon _{n})=\sum _{n}{\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}-1}}}$

Це рівняння не має розв'язку з ${\displaystyle \mu <\varepsilon _{0}}$, де ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — енергія основного стану системи, за температури, меншої за певну критичну температуру T₀. У такому разі характер розподілу докорінно змінюється:

• Ймовірність того, що бозон перебуватиме у стані з енергією, більшою за енергію основного стану, визначається розподілом Бозе — Ейнштейна:

з ${\displaystyle \mu =0}$. Кількість таких бозонів

${\displaystyle N_{\varepsilon >\varepsilon _{0}}=\sum _{n}{\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n})/k_{B}T}-1}}}$

• Решта ${\displaystyle N-N_{\varepsilon >\varepsilon _{0}}}$ бозонів перебуватиме в основному стані з енергією ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.

Для газу бозонів із параболічним законом дисперсії критична температура визначається формулою:

${\displaystyle T_{0}={\frac {3,31}{k_{B}g^{2/3}}}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{2/3}}$,

де g — зумовлений спіном фактор виродження, m — маса бозона, ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка.

Звідси видно, що критична температура тим вища, чим менша маса бозона.

${\displaystyle N_{\varepsilon >\varepsilon _{0}}=N\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2}}$.

${\displaystyle N_{\varepsilon =\varepsilon _{0}}=N\left(1-\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2}\right)}$

Бозе-Ейнштейнівська конденсація експериментально спостерігалася у багатьох системах, що містять бозони. Конденсуватися можуть як реальні частинки (наприклад, атоми, фотони тощо) так і квазічастинки (наприклад, магнони, куперівські пари тощо). При Бозе-Ейнштейнівській конденсації змінюється основний стан системи, відповідно відбувається фазовий перехід, і фізичні властивості речовини значно змінюються.

Деякі матеріали, що містять Бозе-Ейнштейнівський конденсат, набувають нові властивості дуже корисні у техніці та промисловості, наприклад надпровідність. Проте у більшості випадків Бозе-Ейнштейнівська конденсація спостерігається за дуже низьких температур — біля абсолютного нуля. Це робить застосування Бозе-Ейнштейнівського конденсації важким та дуже непрактичним. Тому у більшості випадків спостереження явища БЕК являє суто наукових інтерес.

• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.