Критерій Кона

Критерій Кона — ознака незвідності многочлена в кільці многочленів ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Ознаку можна сформулювати так:

Якщо просте число ${\displaystyle p}$ в десятковій системі числення записується як ${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}}$ (де ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq 9}$) тоді многочлен

${\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$

є незвідним в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Теорему можна узагальнити для довільної системи числення:

Нехай ${\displaystyle b\geq 2}$ натуральне число ${\displaystyle p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ — многочлен з коефіцієнтами ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$. Якщо ${\displaystyle p(b)}$ — просте число тоді ${\displaystyle p(x)}$ є незвідним в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Версія твердження для десяткової системи вперше згадується в книзі [1], узагальнення для довільної системи числення довели Бріліант, Філасета і Одлижко [2].

Вимога, що коефіцієнти многочленів мають задовольняти нерівності ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$ є важливою. Наприклад для десяткової системи числення маємо:

${\displaystyle 10^{3}-9\cdot 10^{2}-9\cdot 10+1=11}$ є простим але:

${\displaystyle x^{3}-9x^{2}-9x+1=(x+1)(x^{2}-10x+1)\,}$