Критерій Ейзенштейна

Нехай ${\displaystyle a(x)=\ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$ — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:

• ${\displaystyle p\not |a_{n}}$,
• ${\displaystyle ~p~|a_{i}}$ для будь-якого і від 0 до n-1,
• ${\displaystyle p^{2}\not |a_{0}}$.

Тоді многочлен ${\displaystyle a(x)}$ є незвідним у полі ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел.

Припустимо що: ${\displaystyle \ a(x)=f(x)g(x)}$, де ${\displaystyle \ f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}}$ та ${\displaystyle \ g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}}$ многочлени ненульових степенів над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Маємо:

${\displaystyle \ a_{0}=b_{0}c_{0}}$

По умові ${\displaystyle p|a_{0}}$, тому або ${\displaystyle p|b_{0}}$ або ${\displaystyle p|c_{0}}$, але не те і інше разом оскільки ${\displaystyle p^{2}\not |a_{0}}$. Нехай ${\displaystyle p|b_{0}}$ і ${\displaystyle p\not |c_{0}}$. Всі коефіцієнти ${\displaystyle f(x)}$ не можуть ділитися на ${\displaystyle p}$, оскільки інакше б це було б вірно і для ${\displaystyle a(x)}$. Нехай ${\displaystyle i}$ — мінімальний індекс, для якого ${\displaystyle b_{i}}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$. Маємо:

${\displaystyle a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i-1}c_{1}+...}$

Оскільки ${\displaystyle p|a_{i}}$ і ${\displaystyle p|b_{j}}$ для всіх ${\displaystyle j<i}$ то ${\displaystyle p|b_{i}c_{0}}$, але це неможливо, оскільки по умові ${\displaystyle p\not |c_{0}}$ і ${\displaystyle p\not |b_{i}}$. Теорема доведена.

• Многочлен ${\displaystyle \ x^{3}+2}$ є незвідним в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
• Многочлен ${\displaystyle \ f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...1}$ є незвідним в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен ${\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{p-1}+{C_{p}}^{1}x^{p-2}+...{C_{p}}^{p-1}}$, а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p|{C_{p}}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!}}}$, а останній коефіцієнт ${\displaystyle {C_{p}}^{p-1}=p}$ до того ж не ділиться на ${\displaystyle p^{2},}$ то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
• Многочлен ${\displaystyle \ x^{3}+4}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це ${\displaystyle p=2}$, але 4 ділиться на ${\displaystyle 2^{2}}$ — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

Нехай D — факторіальне кільце і ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ — многочлен над D.

Нехай P ⊆ D — простий ідеал, такий що:

• a_i ∈ P для i ≠ n,
• a_n ∉ P,
• a₀ ∉ P² (де P² добуток ідеалу).

Тоді f(x) є незвідним в F[x], де F — поле часток D.

• Критерій Ейзенштейна на сайті PlanetMath.