Ланцюг Паппа Александрійського

Ланцюг Паппа Александрійського — кільце всередині двох дотичних кругів, заповнених попарно дотичними кругами менших діаметрів. Досліджена Паппом Александрійським у III столітті н. е.

Ланцюг Паппа Александрійського

Побудова

Беремо точки у такому порядку на одній прямій та побудуємо кола та з діаметрами та відповідно, центри яких позначимо та . Фігура, обмежена колами, схожа з арбелосом (але складається з двох дуг окружності замість трьох) та допускає ланцюг кіл, так як і у теоремі Паппа Александрійського. При цьому кожне коло з ланцюга дотикається окружності ззовні, окружності зсередини та двох сусідніх кіл ланцюга.

Властивості

  • Центри кіл ланцюга розташовані на спільному еліпсі, фокусами якого є центри и кіл яка охоплює фігури, оскільки сума відстаней від центру n-го до точок та не залежить від n:
  • Якщо , то центр та радіус n-го кола ланцюга задаються формулами

Інверсія кола

Під певною інверсією, розташованої в точці A, чотири початкових кола з ланцюга Паппа перетворюються на стопку з чотирьох кіл, однакових за розміром, затиснуті між двома паралельними лініями. Це пояснює формулу висоти hn = n dn та той факт, що початкові точки дотику лежать на загальному колі.

Висота hn центру n-го кола над основним діаметром ACB дорівнює n помножене на dn.[1] Це може бути показано за допомогою інверсії відносно кола з центром у дотичній точці A. Інверсія кола обирається таким чином, щоб перетнути n-те коло перпендикулярно, так щоб n-те коло відображалось само на себе. Два орбелосних кола, та , перетворюються на паралельні лінії, що дотичні до зміщеного n-го кола; отже, інші кола ланцюга Паппа перетворюються на аналогічно затиснуті кола одного діаметру. Початкове коло та кінцеве коло , кожне додають ½dn до висоти hn, тоді як кола C1Cn1, кожне додає dn. Сума цих висот дає рівняння hn = n dn.

Таку ж інверсію можна використати для того, щоб показати, що точки де кола ланцюга Паппа дотичні один до одного лежать на спільному колі. Як показано вище, інверсія відносно точки A перетворює арбелосні кола та на дві паралельні лінії, а кола ланцюга Паппа на купу рівних кіл затиснутих між двома паралельними лініями. Отже, точки дотику між перетвореними колами лежить на середині лінії між двома паралельними лініями. Обертаючи інверсію в колі, ця лінія дотичних точок перетворюється назад у коло.

Ланцюг Штейнера

У цих властивостях, що мають центри на еліпсі та точки дотику на колі, ланцюг Паппа аналогічний ланцюгу Штайнера, в якому скінченне число кіл дотикаються до двох кіл.

Примітки

  1. Ogilvy, pp. 5455.

Література

  • Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. с. 5455. ISBN 0-486-26530-7.
  • Bankoff, L. (1981). How did Pappus do it?. У Klarner, D. A. The Mathematical Gardner. Boston: Prindle, Weber, & Schmidt. с. 112–118.
  • Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (вид. reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. с. 116117. ISBN 978-0-486-46237-0.
  • Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. с. 56. ISBN 0-14-011813-6.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.