Ланцюг Паппа Александрійського

Беремо точки ${\displaystyle A,B,C}$ у такому порядку на одній прямій та побудуємо кола ${\displaystyle C_{U}}$ та ${\displaystyle C_{V}}$ з діаметрами ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle AC}$ відповідно, центри яких позначимо ${\displaystyle U}$ та ${\displaystyle V}$. Фігура, обмежена колами, схожа з арбелосом (але складається з двох дуг окружності замість трьох) та допускає ланцюг кіл, так як і у теоремі Паппа Александрійського. При цьому кожне коло з ланцюга дотикається окружності ${\displaystyle C_{U}}$ ззовні, окружності ${\displaystyle C_{V}}$ зсередини та двох сусідніх кіл ланцюга.

• Центри ${\displaystyle P_{n}}$ кіл ланцюга розташовані на спільному еліпсі, фокусами якого є центри ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ кіл яка охоплює фігури, оскільки сума відстаней від центру n-го до точок ${\displaystyle U}$ та ${\displaystyle V}$ не залежить від n:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}}$

• Якщо ${\displaystyle r=AC/AB}$, то центр ${\displaystyle P_{n}}$ та радіус ${\displaystyle r_{n}}$ n-го кола ланцюга задаються формулами

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),}$

${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$

Інверсія кола

Під певною інверсією, розташованої в точці A, чотири початкових кола з ланцюга Паппа перетворюються на стопку з чотирьох кіл, однакових за розміром, затиснуті між двома паралельними лініями. Це пояснює формулу висоти h_n = n d_n та той факт, що початкові точки дотику лежать на загальному колі.

Висота h_n центру n-го кола над основним діаметром ACB дорівнює n помножене на d_n.[1] Це може бути показано за допомогою інверсії відносно кола з центром у дотичній точці A. Інверсія кола обирається таким чином, щоб перетнути n-те коло перпендикулярно, так щоб n-те коло відображалось само на себе. Два орбелосних кола, ${\displaystyle C_{U}}$ та ${\displaystyle C_{V}}$, перетворюються на паралельні лінії, що дотичні до зміщеного n-го кола; отже, інші кола ланцюга Паппа перетворюються на аналогічно затиснуті кола одного діаметру. Початкове коло ${\displaystyle C_{O}}$ та кінцеве коло ${\displaystyle C_{N}}$, кожне додають ½d_n до висоти h_n, тоді як кола C₁–C_n−1, кожне додає d_n. Сума цих висот дає рівняння h_n = n d_n.

Таку ж інверсію можна використати для того, щоб показати, що точки де кола ланцюга Паппа дотичні один до одного лежать на спільному колі. Як показано вище, інверсія відносно точки A перетворює арбелосні кола ${\displaystyle C_{U}}$ та ${\displaystyle C_{V}}$ на дві паралельні лінії, а кола ланцюга Паппа на купу рівних кіл затиснутих між двома паралельними лініями. Отже, точки дотику між перетвореними колами лежить на середині лінії між двома паралельними лініями. Обертаючи інверсію в колі, ця лінія дотичних точок перетворюється назад у коло.

• Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. с. 54–55. ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). How did Pappus do it?. У Klarner, D. A. The Mathematical Gardner. Boston: Prindle, Weber, & Schmidt. с. 112–118.
• Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (вид. reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. с. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. с. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.

• Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein Pappus Chain(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tan, Stephen. Arbelos.