Інверсія (геометрія)

Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — перетворення евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе.

Кардіоїда — інверсія параболи

Визначення

Інверсія

Нехай на евклідовій площині задано деяке коло $\Gamma$ з центром $O$ (що називається полюсом або центром інверсії, ця точка виколота) і радіусом $R$ . Інверсія точки $P$ щодо $\Gamma$ є точка $P'$ , що лежить на промені $OP$ така, що

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Інверсія переводить внутрішню область кола у зовнішню, і назад.

Часто до площини додають «нескінченно віддалену точку» $\infty$ і вважають її інверсним образом $O$ , а $O$ — інверсним образом $\infty$ . У цьому випадку інверсія є бієктивним перетворенням цієї розширеної «колової площини».

Аналогічно визначається інверсія евклідового простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах більш високих розмірностей.

Властивості

Образ центру кола не є центром образу

Інверсія відносно кола $\Gamma$ з центром O має такі основні властивості:

Інверсія є інволюцією: якщо точка P переходить у точку Q, то і точка Q переходить у точку P.
Пряма, що проходить через O, переходить у себе.
Пряма, що не проходить через O, переходить у коло, що проходить через O з виколотою точкою O; і навпаки, коло, що проходить через O, переходить у пряму, яка не проходить через O.
Коло, яке не проходить через O, переходить у коло, яке не проходить через O (при цьому образ його центру не є центром образу).
Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
Коло або пряма, перпендикулярна до $\Gamma$ , переходить у себе.

Побудова

Побудова образу точки при інверсії щодо кола

Отримати образ P' точки P при інверсії відносно даного кола з центром O можна таким чином[1]:

Якщо відстань від P до O більша, ніж радіус кола — провести з P дотичну до кола, тоді перпендикуляр до прямої OP з точки дотику перетне цю пряму в шуканій точці P'
Якщо відстань від P до O менша, ніж радіус кола — провести через P перпендикуляр до OP, а через точку його перетину з колом — дотичну до нього, яка перетне OP в шуканій точці P'
Якщо відстань від P до O дорівнює радіусу кола, образ P збіжиться з нею самою.

Координатні подання

Декартові координати

Інверсія відносно одиничного кола з центром у початку координат задається співвідношенням

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)

.

Якщо точку площини задати однієї комплексною координатою $z=x+iy$ , то цей вираз можна подати у вигляді

z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}

,

де ${\bar {z}}$ — комплексно спряжене число для $z$ . Дана функція комплексної змінної є антиголоморфною, звідки, зокрема, слідує конформність інверсії.

У загальному випадку інверсія щодо кола з центром у точці $O=(x_{0},y_{0})$ і радіусом $r$ задається співвідношенням

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)

.

Полярні координати

Інверсія відносно кола радіусом $r$ з центром у початку координат задається співвідношенням

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

.

Застосування

Застосуванням інверсії розв'язується задача Аполлонія.
На властивості інверсії ґрунтується механізм Ліпкіна — Посельє.
Застосуванням інверсії доводиться теорема Мора — Маскероні, яка стверджує, що всі побудови, які можна зробити за допомогою циркуля і лінійки можна зробити за допомогою циркуля (пряма вважається побудованою, якщо відомі дві її точки)[2][3]

Варіації та узагальнення

Інверсія відносно конічного перерізу

Можна визначити інверсію щодо довільного невиродженого конічного перетину, з тією лише різницею, що величина $R$ буде (змінною) відстанню від центра $O$ відповідної кривої (у випадку еліпса і гіперболи) до точок перетину цієї кривої з прямою $OP$ .

У разі інверсії відносно гіперболи, залежно від сектора, в якому знаходиться точка $P$ між асимптотами, можливий випадок, коли пряма $OP$ не перетинається з гіперболою. Тоді для обчислення $R$ береться точка перетину цієї прямої зі спряженою гіперболою (якщо тільки точка $P$ не лежить на асимптоті), а відповідна величина $R^{2}$ береться зі знаком мінус, тобто промінь $OP'$ спрямовується в бік, протилежний до променя $OP$ .

Інверсія відносно параболи — це просто симетричне відображення відносно неї вздовж прямої, паралельної осі параболи.

Альтернативне визначення — інверсія відносно конічного перерізу ${\mathcal {K}}$ як середина хорди, що відтинається полярою точки $P$ відносно ${\mathcal {K}}$ на ${\mathcal {K}}$ . Однак у випадку, коли відповідна поляра не перетинає ${\mathcal {K}}$ для повноти визначення доводиться застосовувати це, часткове, визначення у "зворотному напрямку" ( $P'$ — це така точка, що $P$ є серединою хорди, яку відтинає поляра $P'$ на ${\mathcal {K}}$ ), що не завжди зручно.

Див. також

Інверсія кривої

Примітки

Погорелов А. В. Геометрия. — М. : Наука, 1983. — С. 41—42.
Жижилкин, 2009.
Курант, 2000.

Посилання

Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М. : МЦНМО, 2009.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М. : МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Погорелов А. В. Геометрия. — М. : Наука, 1983. — С. 41—42.

[FOOTNOTEЖижилкин2009-2] Жижилкин, 2009.

[FOOTNOTEКурант2000-3] Курант, 2000.