Логарифмічно угнута функція

В опуклому аналізі, невід'ємна функція $f : R n \to R +$ є логарифмічно угнутою (або лог-угнутою) якщо її область визначення є опуклою множиною, і якщо вона задовольняє нерівність

f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

для всіх $x, y \in dom f$ і $0 < θ < 1$ . Якщо $f$ — строго додатна, це те саме, що сказати, що логарифм функції, $log \circ f$ , є угнутим; тобто,

\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)

для всіх $x, y \in dom f$ і $0 < θ < 1$ .

Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 індикаторні функції опуклих множин і функція Гауса.

Подібно, функція є лог-опуклою якщо вона задовольняє зворотній нерівності

f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }

для всіх $x, y \in dom f$ і $0 < θ < 1$ .

Властивості

Лог-угнута функція, також є квазіугнутою. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини (англ. superlevel set) $S_{\alpha }=\{x\in {\mbox{dom}}f|f(x)\geq \alpha \}$ є опуклими.[1]
Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса $f (x)$ = $exp(- x 2 /2)$ , яка є лог-угнутою, оскільки $log f (x)$ = $- x 2 /2$ є угнутою функцією від $x$ . Але $f$ не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для | $x$ | > 1:

f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0

З двох попередніх пунктів, угнутість $\Rightarrow$ лог-угнутість $\Rightarrow$ квазіугнутість.
Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх $x$ , що задовольняють $f (x) > 0$ ,

f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

,[1]

тобто

f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

є

від'ємно визначеною. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до

f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}

Операції, що зберігають лог-угнутість

Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо $f$ і $g$ є лог-угнутими функціями, тоді $log f$ і $log g$ є угнутими за визначенням. Отже,

\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))

є угнутою, і звідси

f g

є лог-угнутою.

Відособлені розподіли: якщо $f (x, y)$ : $R n + m \to R$ є лог-угнутою, тоді

g(x)=\int f(x,y)dy

є лог-угнутою.

З цього випливає, що згортка зберігає лог-угнутість, оскільки $h (x, y)$ = $f (x - y) g (y)$ є лог-угнутою якщо $f$ і $g$ — лог-угнутими, і тому

(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy

є лог-угнутою.

Примітки

Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) Section 3.5

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) Section 3.5