Матрична функція

Нехай ${\displaystyle A}$ — симетрична матриця. Існує така ортогональна матриця ${\displaystyle Q}$, що перетворення подібності

${\displaystyle Q^{-1}AQ=J}$

приводить її до діагональної форми, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці, а усі інші елементи матриці — нулі. За допомогою такого перетворення можна отримувати функції від матриць.

Нехай

${\displaystyle f(\lambda )=f_{0}+f_{1}\lambda +{\frac {1}{2}}f_{2}\lambda ^{2}+...}$

- аналітична функція ${\displaystyle \lambda }$ в околі точки 0. Тоді, якщо усі власні значення матриці ${\displaystyle A}$ лежать у цьому околі, можна визначити матрицю

${\displaystyle f(A)=f_{0}I+f_{1}A+{\frac {1}{2}}f_{2}A^{2}+...,}$

де ${\displaystyle A}$ — симетрична матриця. Скористуймося перетворенням подібності, визначеним вище:

${\displaystyle Q^{-1}f(A)Q=f_{0}Q^{-1}IQ+f_{1}Q^{-1}AQ+{\frac {1}{2}}f_{2}Q^{-1}AQ\cdot Q^{-1}AQ+...=f_{0}If_{1}J+{\frac {1}{2}}f_{2}J^{2}+...}$

Помноживши ліворуч на матрицю ${\displaystyle Q}$, а праворуч на ${\displaystyle Q^{-1}}$, отримаємо

${\displaystyle f(A)=Q(f_{0}I+f_{1}J+{\frac {1}{2}}f_{2}J^{2}+...)Q^{-1}.}$

Нехай задані дві матриці ${\displaystyle A,B}$, для кожної з яких відомі матриці перетворення подібності, які переводять кожну з них до діагонального вигляду. Перетворення подібності для їх суми ${\displaystyle A+B}$ невідоме, як і факт наявності або відсутності приєднаних векторів, а необхідно знайти матрицю ${\displaystyle e^{A+B}t}$, не застосовуючи накопичуваної помилки побудови ряду, в якому бере участь багатократне перемноження матриць. Можна знайти окремо матриці ${\displaystyle e^{At}}$ та ${\displaystyle e^{Bt}}$. Спробуймо визначити, чи є справедливою рівність

${\displaystyle e^{At}e^{Bt}=e^{A+B}t.}$ (1)

Використовуючи ряди Тейлора,

${\displaystyle e^{At}e^{Bt}=e^{(A+B)t}+{\frac {t^{2}}{2}}[A,B]+...,}$

де

${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ (2)

називається антикомутатором матриць ${\displaystyle A,B}$.

Необхідною умовою виконання рівності (1) є переставність матриць ${\displaystyle A,B}$, тобто рівність нулю комутатора (2). Відзначмо, що комутатор є антисиметричним відносно перестановки матриць

${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$.

Можна скористатися цією властивістю для апроксимації оператора ${\displaystyle e^{(A+B)t}}$ у вигляді добутку операторів виду ${\displaystyle e^{At}}$ та ${\displaystyle e^{Bt}}$. Розгляньмо добуток

${\displaystyle U(t)=e^{At/2}e^{Bt}e^{At/2}=e^{At/2}e^{Bt/2}e^{Bt/2}e^{at/2}=e^{(A+B)t}+{\frac {t^{3}}{24}}[A+2B,[A,B]]+...}$

Тут ми скористалися зміною знаку комутатора при перестановці операторів й відкинули член із парним степенем ${\displaystyle t^{2}}$ у виразі для помилки апроксимації. Щоб ще раз підвищити порядок апроксимації, треба відкинути член з непарним степенем ${\displaystyle t,}$ оператор при якому складається із суми парної ${\displaystyle ({\frac {1}{2}}[B-A,[A,B]])}$ та непарної ${\displaystyle ({\frac {3}{2}}[A+B,[A,B]])}$ відносно перестановки операторів ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ частин. Для цього розгляньмо добуток

${\displaystyle U(t)U(-\alpha t)U(t)=e^{(A+B)(2-\alpha )t}+{\frac {t^{3}}{24}}[A+2B,[A,B]](2-\alpha ^{3})+O(t^{4}).}$

При ${\displaystyle \alpha =2^{1/3}}$ отримаємо апроксимацію порядку ${\displaystyle t^{4}}$, складену у вигляді добутку семи експонент операторів ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$.

Таким чином, якщо ми хочемо відкинути черговий парний член апроксимації, необхідно скористатися зміною місць операторів ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ у вже отриманій конструкції.

Операторна експонента буде знайденою у точці

${\displaystyle \Delta t=(2-\alpha )t}$,

де ${\displaystyle \alpha =2^{1/3}}$.