Ортогональна матриця
Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця (зазвичай із дійсними елементами) така, що
- ,
де
- — транспонована матриця до матриці ,
- — одинична матриця,
Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:
Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.
Властивості
- Визначник ортогональної матриці дорівнює .
- Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).
- тобто, для ортогональної матриці справедливі формули:
- де — символ Кронекера.
- Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований.
- Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду
- Ортогональні матриці порядку над полем утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається (якщо опущено — вважається ).
Розклад матриці
- Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
- Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.