Метрика Лоренца

Ме́трика Ло́ренца — псевдоевклідова метрика простору Мінковського, що природно виникає у спеціальній теорії відносності, і як тривіальний частковий випадок — у загальній теорії відносності.

Плоский простір Мінковського з координатами ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\ }$, що використовується у спеціальній теорії відносності, має метричний тензор

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\ }$

Тут ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ — звичайні прямокутні рівномасштабні декартові координати, а ${\displaystyle t}$ — час, виміряний у цій системі відліку, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла.

За допомогою цього тензора визначається інтервал

${\displaystyle ds={\sqrt {g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}={\sqrt {c^{2}(dt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^{2}}},}$

інваріантний відносно перетворень Лоренца аналог і узагальнення 3-вимірної відстані у фізичному просторі на 4-вимірний простір час (в останній формулі двійка означає не індекс, а степінь).

Для кривої, всі точки якої стосуються одного й того ж моменту часу, формула довжини кривої зводиться до звичайної тривимірної форми. Для часоподібної кривої, формула довжини дає власний час уздовж кривої.

Метрика Мінковського є псевдоевклідовою метрикою: як бачимо, вона не додатно визначена, при цьому постійна (представлена не залежною від координат матрицею у звичайних декартових координатах) і описує, таким чином, плоский псевдоевклідів простір.

Всі закони фізики (якщо залишити осторонь гравітацію) записуються однаково у всіх інерціальних системах відліку, при цьому описана щойно метрика Лоренца інваріантна для всіх цих систем відліку, якщо використовувати природні фізичні процедури вимірювання. Перерахунок фізичних величин (зокрема відстаней і кутів) між різними системами відліку здійснюється перетвореннями Лоренца, що зберігають інваріантність цієї метрики.

Важливою особливістю метрики Мінковського є наявність світлового конуса, що складається з векторів нульової довжини і обмежує ділянки майбутнього і минулого відносно заданої події.