Псевдоевклідів простір

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору ${\displaystyle L}$, завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{m+1}y_{m+1}-\ldots -x_{n}y_{n},}$

де ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ та ${\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ — вектори простору ${\displaystyle L}$. Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд

${\displaystyle \langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2},}$

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора ${\displaystyle x}$). Відповідно, довжина вектора ${\displaystyle x}$, визначена рівністю

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},}$

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками ${\displaystyle n}$-вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ і ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ записувалось у вигляді

${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{m+1}-y_{m+1})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.}$

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел ${\displaystyle (m,n-m)}$ (які задають кількість базисних векторів дійсної і чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованого базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами не ізометричні один одному. Утім, простір із сигнатурою ${\displaystyle (m,n-m)}$ може бути перетворений в простір з сигнатурою ${\displaystyle (n-m,m)}$ зміною знаку скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не роблять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається або як простір сигнатури ${\displaystyle (1,3)}$, або як простір сигнатури ${\displaystyle (3,1)}$. Таким чином, кожному виміру ${\displaystyle n}$ відповідає ${\displaystyle \left[n/2\right]}$ (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних ${\displaystyle n}$-вимірних псевдоевклідових просторів.

Важливою особливістю просторів з індефінітною метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатури ${\displaystyle (1,n-1)}$ не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності понад 1.[1]

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) простору в цій точці. Ця множина справді є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклідового афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду ${\displaystyle \langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},}$ ізотропні напрямки — прямі ${\displaystyle x_{1}\pm x_{2}=0,}$ тому ізотропний конус складається з об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченну кількість ізотропних напрямків. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду ${\displaystyle \langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},}$ ізотропні напрямки — це всі прямі, що лежать на ізотропному конусі ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,}$ який в цьому випадку являє собою справжній конус.

Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідового простору із сигнатурою ${\displaystyle (n-m,m)}$ не обов'язково є теж псевдоевклідовим; він може бути й евклідовим простором. Наприклад, у тривимірному псевдоевклідовому просторі із сигнатурою ${\displaystyle (2,1)}$ площина ${\displaystyle \Pi }$ може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою ${\displaystyle (1,1)}$, або евклідовим простором, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини ${\displaystyle \Pi }$ відносно ізотропного конуса (див. рисунок). А саме: площина ${\displaystyle \Pi }$ є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двох різних прямих (ізотропних напрямках); обмеження скалярного добутку на площину ${\displaystyle \Pi }$ вироджене, якщо ${\displaystyle \Pi }$ дотикається ізотропного конуса, тобто, перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина ${\displaystyle \Pi }$ є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

З точки зору геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, у тривимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури ${\displaystyle (2,1)}$ сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, у чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричними властивостям кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в ${\displaystyle n+1}$-вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури ${\displaystyle (n,1)}$ є ${\displaystyle n}$-вимірним простором Лобачевського. Простори вимірності ${\displaystyle k}$ (від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності ${\displaystyle k+1}$ початкового псевдоевклідового простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

У псевдоевклідовому просторі з сигнатурою ${\displaystyle (n-1,1)}$ для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотня нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:[1]

${\displaystyle \langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}$

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальній теорії відносності як простір-час, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (у сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряний по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру ${\displaystyle (1,n)}$ ,тобто це простори з однією часовою координатою та n — просторовими.

• Для евклідового простору завжди ${\displaystyle \ k=n,}$ тому квадратична форма є додатноозначеною.
• Важливим псевдоевклідовим простором є простір Мінковського, для якого ${\displaystyle \ n=4,k=3.}$
• Найпростішим псевдоевклідовим простором є площина подвійних чисел: z = x + y j з квадратичною формою

${\displaystyle \lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.}$

• ${\displaystyle \ q(x)}$ не є нормою, оскільки вона не є невід'ємною і для неї не виконується нерівність трикутника.
• У псевдоевклідовому просторі, на відміну від евклідового, існують ненульові вектори нульової довжини ${\displaystyle q(x)\leqslant 0.}$

• Евклідів простір
• Перетворення Лоренца
• Метрика Лоренца
• Простори Бервальда — Моора

• Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71:129—44.
• Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с.266.
• Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607.
• Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
• Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.