Загальна теорія відносності

Альберт Ейнштейн опублікував спеціальну теорію відносності 1905 року, а з 1907 року почав роздуми над описом вільного падіння. Одне із досліджень теорії проводилось в серпні 1914 року в Броварах за участю американського астронома Вільяма Воллеса Кемпбелла.

Після тривалої роботи в листопаді 1915 він зробив доповідь на засіданні Прусської академії наук, в якій сформулював рівняння для визначення гравітаційного поля, що відомі як рівняння Ейнштейна. Рівняння Ейнштейна дуже важко розв'язати, тому Ейнштейн у своїх працях застосовував наближені розв'язки.

Але вже 1916 року Карл Шварцшильд запропонував перший точний нетривіальний розв'язок сферично-симетричного гравітаційного поля, відомий як метрика Шварцшильда. Наступного року Ейнштейн застосував знайдений розв'язок для опису Всесвіту, і щоб отримати стаціонарний розв'язок, який відповідав тодішнім уявленням, доповнив рівняння членом із космологічною сталою. Однак, упродовж 1920-х завдяки роботам Едвіна Габбла та інших астрономів, стало зрозуміло, що Всесвіт розширюється. Розширення Всесвіту описує теорія Олександра Фрідмана, запропонована 1922 року.

1919 року Артур Еддінгтон, спостерігаючи за небом навколо сонячного диску під час сонячного затемнення, виявив зсув зір зі своїх звичних положень, що свідчило на користь викривлення траєкторії світлових променів поблизу масивних тіл. Це відкриття негайно принесло Ейнштейну світову славу[1]. Однак, повне визнання серед науковців загальна теорія відносності здобула лише в 1960-х роках, коли фізики ідентифікували квазари як галактики з чорними дірами в центрі. Також стала можливою перевірка окремих передбачень теорії, наприклад, гравітаційного червоного зміщення, в земних умовах.

Концептуальне ядро загальної теорії відносності, з якого випливає більшість її висновків — принцип еквівалентності, який постулює, що гравітація та прискорення — це еквівалентні фізичні явища, тобто

Цей принцип пояснює, чому експериментальні вимірювання гравітаційної та інертної мас доводять їхню еквівалентність. Це твердження стало основою багатьох відкриттів, таких як гравітаційний червоний зсув, викривлення променів світла поблизу великих гравітаційних мас (таких як зорі), чорні діри, уповільнення часу в гравітаційному полі тощо. Але з принципу еквівалентності не випливає єдиність рівнянь викривленого простору-часу, і це зокрема призвело до появи так званої космологічної сталої, яка фігурує в деяких теоріях.

Модифікації закону всесвітнього тяжіння Ньютона призвели до першого успіху нової теорії: отримав пояснення ефект зсуву перигелію Меркурія. Багато інших передбачень теорії було в подальшому підтверджено астрономічними спостереженнями. Однак внаслідок високої складності цих спостережень та труднощів із досягненням задовільних похибок вимірювань, виникли альтернативні теорії гравітації, такі як теорія Бранса-Діке або біметрична теорія Розена. Але поки що немає таких експериментальних даних, які б могли викликати необхідність перегляду загальної теорії відносності.

Однак є теоретичні підстави стверджувати, що загальна теорія відносності незавершена. Вона не узгоджується з квантовою механікою, що має наслідком некоректні її результати за умов високих енергій. Об'єднання цих двох теорій — одна з фундаментальних проблем сучасної теоретичної фізики.

Спеціальна теорія відносності внесла фундаментальні зміни в закони класичної механіки, виходячи з таких постулатів

• всі інерційні системи відліку є рівноправними;
• швидкість світла в усіх інерційних системах є однаковою.

З цих постулатів випливає, що швидкість світла є максимально можливою в природі. Будь-який матеріальний об'єкт не може рухатися швидше за світло.

З погляду спеціальної теорії відносності простір і час тісно пов'язані між собою. Їх слід вважати єдиним чотиривимірним многовидом, що має назву «простір-час». Спостерігачі, що рухаються один відносно одного, можуть по-різному визначати «просторові» і «часовий» напрямки в цьому многовиді. Тому простір і час більше неможливо розглядати як окремі сутності.

Загальна теорія відносності доповнила цю картину тим, що енергія гравітаційного поля (породжена матерією) здатна деформувати простір-час так, що «прямі» лінії в просторі та часі мають властивості «кривих» ліній.

Математики використовують термін «викривлення» для позначення будь-якого простору, де геометрія не є Евклідовою. Найчастіше ефект від викривлення ілюструється малюнком, аналогічним наведеному нижче:

Тут зображено, як масивне тіло «розтягує» уявну «сітку» простору-часу, внаслідок чого лінії сітки, що були прямими у пласкому (Евклідовому) просторі, стають викривленими. Як наслідок, траєкторії тіл, які були б прямими в Евклідовому просторі, змінюють свою форму поблизу масивного об'єкта. Слід однак пам'ятати, що цей малюнок — лише ілюстрація, яка далеко не повністю відображає фізичну реальність. Насправді ж поблизу масивного тіла викривляється не лише простір, а простір-час, внаслідок чого змінюється не лише просторова форма траєкторій, а й часові параметри руху: тіла зазнають прискорення (сповільнення). Реальний простір є тривимірним, а простір-час — чотиривимірним. На малюнку довелось обмежитись зображенням двовимірного простору заради наочності.

Хоча для візуалізації буває зручно уявити собі викривлену поверхню, яка вкладена у простір більшої розмірності, ця модель не має сенсу, якщо мова йде про реальний всесвіт. Кривина простору-часу може бути виміряна «зсередини» спостерігачами, які перебувають у ньому, тобто без використання додаткових вимірів.

Для ілюстрації розглянемо, як кривизна поверхні Землі може бути виміряна спостерігачем, який весь час перебуває на цій поверхні. Проведемо такий уявний експеримент: Ви вирушаєте з Північного полюса на південь і проходите приблизно 10 000 км (до екватора), потім повертаєте наліво точно на 90 градусів, йдете 10 000 км, повертаєте знову наліво на 90 градусів і йдете ще 10 000 км і повертаєтесь точно туди, звідки почали, причому під кутом 90 градусів до першого відрізка Вашого шляху. Такий трикутних з трьома прямими кутами, абсолютно неможливий в Евклідовій геометрії, виявляється можливим на поверхні Землі лише тому, що Земля є викривленою поверхнею.

Викривленість простору-часу, у якому ми живемо, також можливо виявляти певними експериментами.

Математичні основи загальної теорії відносності повертають нас до аксіом Евклідової геометрії та багатьох спроб довести відомий п'ятий постулат Евкліда. Лобачевський, Бояї та Гаусс довели, що ця аксіома не обов'язково повинна бути правильною та заклали основи для побудови неевклідових геометрій. Загальна математика неевклідових геометрій була розроблена Гаусовим студентом Ріманом, але не мала застосування до реального світу доти, доки Ейнштейн не сформулював загальну теорію відносності.

Гаус виходив з того, що немає апріорних доказів саме евклідовості геометрії реального світу. Це б означало, що якщо б фізик тримав паличку, а картограф стояв на деякій відстані від нього, та вимірював би довжину палички відомим в геодезії методом триангуляції, основаним на евклідовій геометрії, то не було б гарантії збігу результату вимірювання з тим, який би здійснив сам фізик, від якого паличка перебуває поряд. Зрозуміло, що на практиці за допомогою палички визначити неевклідовість геометрії неможливо, але існують експерименти, які визначають неевклідовість безпосередньо. Наприклад, експеримент Паунда-Ребки (1959) зафіксував зміни довжини хвилі випромінювання від джерела, піднятого на 22,5 метри над землею на вежі в Гарварді, і пізніше атомні годинники на супутниках глобальної системи позиціювання (GPS) були скориговані з врахуванням гравітаційних ефектів.

Ньютонова теорія гравітації стверджувала, що об'єкти насправді мають абсолютні швидкості, тобто, деякі тіла перебувають в абсолютному спокої, тоді як інші «справді» рухаються. Але Ньютон розумів, що ці абсолютні стани не можуть бути виміряні безпосередньо. Всі вимірювання давали лише швидкість одного тіла відносно іншого. І закони механіки здавались справедливими для всіх тіл незалежно від нюансів їхнього руху. Ньютон вірив, що ця теорія не має сенсу без розуміння того, що абсолютні величині насправді є, хоча ми не можемо їх виміряти. Але фактично, ньютонова механіка може працювати і без цього припущення, і це не треба плутати з пізнішим постулатом Ейнштейна про інваріантність швидкості світла.

У 19 столітті Максвелл сформулював систему рівнянь для електромагнітного поля, які показали, що світло поводить себе як електромагнітна хвиля, яка поширюється з фіксованою швидкістю в просторі. Це стало базою для подальших експериментів з перевірки ньютонової теорії: порівнюючи власну швидкість зі швидкістю світла, можна було б встановити абсолютну швидкість спостерігача. Або, що те ж саме, встановити швидкість спостерігача відносно системи відліку, яка є ідентичною для усіх інших спостерігачів.

Ці твердження базувались на припущенні про поширення світла в певному середовищі, і це середовище могло бути саме тим, від чого потрібно було відштовхуватись в проведенні подальших експериментів. Було проведено низку експериментів з визначення швидкості Землі відносно цієї всесвітньої «сутності», або «ефіру». Ідея була така: швидкість світла, яка б вимірювалась з поверхні Землі, повинна була бути більшою, коли планета рухалась би вздовж руху ефіру та меншою, коли б вона рухалась у протилежному напрямку (зрозуміло, що тут слід було б врахувати й обертання Землі навколо своєї осі). Перевірка, здійснена Майкельсоном та Морлі наприкінці 19 століття, мала дивовижний результат: швидкість світла залишалась постійною в усіх напрямах (дивіться Експеримент Майкельсона-Морлі).

1905 року Ейнштейн у своїй статті «До електродинаміки тіл, що рухаються», пояснив ці результати, виходячи з постулатів спеціальної теорії відносності.

Фундаментальна ідея загальної теорії відносності полягає в тому, що ми не можемо вести мову про фізичний сенс швидкостей або прискорень без визначення системи відліку. У спеціальній теорії відносності стверджується, що система відліку може бути розширена нескінченно на всі напрямки в просторі та часі. Це тому, що спеціальна теорія відносності асоціюється саме з інерційними системами відліку. Загальна теорія відносності стверджує, система відліку може бути лише локальною, справедливою лише для обмеженої області простору та проміжку часу (точно так, як можна намалювати пласку мапу географічного регіону, але через викривлення поверхні Землі пласка мапа всієї планети буде обов'язково викривлена). У загальній теорії відносності, закони Ньютона залишаються справедливими лише в локальних системах відліку. Наприклад, вільні частинки в локальних інерційних (Лоренцових) системах рухаються вздовж прямих ліній. Але ці лінії є прямими лише в межах системи відліку. Насправді вони не є прямими, вони є лініями, відомими як геодезичні. Таким чином, перший закон Ньютона замінюється «геодезичним» законом руху.

В інерційних системах відліку, тіло зберігає свій стан доти, доки на нього не подіють зовнішні сили. В неінерційних системах відліку, тіла набувають прискорення не від дії на них інших тіл, а безпосередньо від самої системи відліку. Саме тому ми відчуваємо на собі дію прискорення, перебуваючи в автомобілі, який повертає. Тут автомобіль є базисом неінерційної системи відліку, в якій ми перебуваємо. Таку саму природу має сила Коріоліса, якщо як систему відліку обрати тіло, яке обертається, наприклад, Землю. Принцип еквівалентності в загальній теорії відносності постулює, що ніякі локальні експерименти не виявлять різниці між вільним падінням у гравітаційному полі та відповідним за характеристиками прискореним рухом.

Математично, Ейнштейн змоделював простір-час за допомогою чотиривимірного псевдо-Ріманового многовиду, і його рівняння гравітаційного поля стверджують, що викривленість цього многовиду в довільній точці безпосередньо пов'язана з тензором енергії-імпульсу. Цей тензор відповідає густині речовини та енергії в цій точці. Отже, викривлення простору-часу спричиняє рух матерії, а матерія, з іншого боку, є причиною викривлення простору-часу.

В одному з варіантів рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля містять параметр, який називають космологічною сталою. Ейнштейн запровадив її для того, щоб отримати як розв'язок цих рівнянь модель статичного Всесвіту, тобто такого, який не розширюється і не стискається. Це не мало належного ефекту, адже такий статичний всесвіт є нестабільним, а подальші астрономічні спостереження підтвердили, що наш Всесвіт розширюється. Тому пізніше Ейнштейн назвав запровадження космологічної сталої «своєю найбільшою помилкою». Однак, отримані наприкінці 20 століття нові астрономічні дані потребують ненульового значення космологічної сталої для пояснення результатів спостережень^{[джерело?]}.

Математичним апаратом загальної теорії відносності є диференціальна геометрія. Основною локальною характеристикою простору-часу є метрика простору-часу, задана метричним тензором. Просторово-часовий інтервал, інваріантний щодо переходу до будь-якої інерційної чи неінерційної системи відліку, має вигляд:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ik}dx^{i}dx^{k}\,}$.

Метрика простору-часу визначається розподілом речовини й поля, який задається тензором енергії-імпульсу. Зв'язок між цими величинами встановлюється гравітаційною сталою.

Рівняння для визначення метричного тензора виглядає так:

${\displaystyle R_{ik}-{1 \over 2}Rg_{ik}=8\pi {G \over c^{4}}T_{ik}}$

Де ${\displaystyle R_{ik}}$ — тензор Річчі, ${\displaystyle R}$ — скалярна викривленість, ${\displaystyle g_{ik}}$ — метричний тензор, ${\displaystyle T_{ik}}$ — тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію та сили в довільній точці простору-часу, ${\displaystyle \pi }$ — число пі, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, яка з'являється й у законі всесвітнього тяжіння Ньютона.

Тензор Річчі та скалярна викривленість — похідні від ${\displaystyle g_{ik}}$. ${\displaystyle g_{ik}}$, тобто метрики многовиду. Тензор Річчі має структуру симетричного 4 × 4-тензора, таким чином він складається з 10 незалежних компонент. Після визначення чотирьох просторово-часових координат, кількість незалежних рівнянь, які складають Ейнштейнові рівняння гравітаційного поля, скорочується до 6.

З космологічною сталою рівняння Ейнштейна має вигляд:

${\displaystyle R_{ik}-{1 \over 2}Rg_{ik}+\Lambda g_{ik}=8\pi {G \over c^{4}}T_{ik}}$

Космологічна стала ${\displaystyle \Lambda }$, хоч й здавалась Ейнштейну незалежною величиною, може бути включена до складу тензора енергії-імпульсу й проінтерпретована в такому разі як показник існування так званої темної енергії, густина якої постійна в просторі-часі.

Вивчення розв'язків цього рівняння — одна з активних галузей астрономії, яка має назву космології. Ця наука, ґрунтуючись на рівняннях Ейнштейна, передбачила існування чорних дір і сформулювала різноманітні моделі еволюції Всесвіту.

До цього дня вчені роблять нові відкриття, які служать черговими доказами загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна. Останнім з таких відкриттів стали спостереження вчених-астрономів з інституту Макса Планка, які вивчали те, як гравітація надмасивної чорної діри, що знаходиться в центрі Чумацького Шляху, спотворює і переломлює світло від зірок, що знаходяться поруч і за чорною дірою щодо Землі. У своїх спостереженнях вчені задіяли інфрачервоні інструменти Gravity, Sinfoni і Naco, які є складовими частинами телескопа Very Large Telescope Європейської південної обсерваторії. Цей телескоп був наведений на центр нашої галактики, туди, де «живе» надмасивна чорна діра Sagittarius A*, оточена групою зірок, що рухаються навколо неї на великій швидкості. Одна із зірок-супутників чорної діри, S2, робить один оборот на 15 земних років, а її найближчий до дірі прохід стався 19 травня 2018 року. В цей час зірка була схильна до максимального впливу гравітаційних сил чорної діри, що дало вченим можливість провести перевірку відразу декількох різних і суперечливих теорій, що мають відношення до гравітації. Інструменти Gravity і Sinfoni використовувалися для вимірювання швидкості і поточного місцезнаходження зірки S2. Ці дані, об'єднані з даними, зібраними в момент попереднього максимального зближення зірки і чорної діри, були зрівняні з прогнозами, розрахованими з точки зору класичної ньютонівської гравітаційної фізики, загальної теорії відносності та інших теорій. І найточніший прогноз, який практично зійшовся з результатами спостережень, забезпечила саме Загальна теорія відносності Альберта Ейнштейна[2].

Розв'язок рівнянь загальної теорії відносності приводить до існування фізичних явищ, відмінних від класичної фізики, і, зокрема, теорії гравітації Ньютона. Ці відмінності проявляються тільки поблизу масивних тіл, у потужному гравітаційному полі. Однак, деякі з передбачень теорії знайшли підтвердження не тільки в астрономічних даних, але й завдяки прецизійним експериментам у земних умовах.

Перше підтвердження теорії отримав 1915 року Ейнштейн, пояснивши ефект прецесії перигелію Меркурія без застосування будь-яких інших припущень.

1919 року експерименти Артура Еддінгтона, які засвідчили зсув позиції зірки в процесі сонячного затемнення (Сонце, маючи велику масу, викривило промені світла від зорі, візуально зсунувши її зі звичного місця на небосхилі), підтвердили справедливість теорії.

10 квітня 2019 року команда з 200 вчених з допомогою телескопа Event Horizon сфотографувала ореол чорної діри в центрі галактики М87 .

• Математичне формулювання загальної теорії відносності
• Метричний тензор
• Тензор Рімана
• Спеціальна теорія відносності
• Квантова механіка
• Гравітаційне червоне зміщення
• Нерозв'язані проблеми сучасної фізики
• Передбачення загальної теорії відносності
• Експеримент Хафеле — Кітінга

• Жданов В. І. Вступ до теорії відносності. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 290 с.
• Дирак П. А. М. Общая теория относительности. — М. : Атомиздат, 1978. — 66 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
• Мак-Витти Г. Общая теория относительности и космология. — М. : ИЛ, 1961. — 284 с.
• Мёллер К. Теория относительности. — М. : Атомиздат, 1975. — 400 с.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М. : Мир, 1977. — 478+524+509 с.
• Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М. : ИЛ, 1963. — 432 с.
• Фейнман Р., Мориниго Ф., Вагнер У. Фейнмановские лекции по гравитации. — М. : Янус-К, 2000. — 296 с.
• т' Хоофт Г. Введение в общую теорию относительности. — Ижевск : РХД, 2002. — 96 с.
• Загальна теорія відносності: випробування часом: Моногр. / Я. С. Яцків, О. М. Александров, І. Б. Вавилова, В. І. Жданов, Ю. М. Кудря; Голов. астрон. обсерваторія. Цетр дослідж. наук.-техн. потенціалу та історії науки ім. Г. М. Доброва. Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка. Астрон. обсерваторія. — К.: ГАО НАН України, 2005. — 287 с. — Бібліогр.: с. 248—281. — ISBN 966-02-3728-6. — укр.