Перетворення Лоренца

Перетворення Лоренца — лінійні перетворення координат простору Мінковського, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца пов'язують координати подій в різних інерційних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю відносно іншої

Формулювання

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв'язує координати події в інерційній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

,
де x, y, z, t — координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ — координати тієї ж події в системі K′; V — відносна швидкість двох систем; c швидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V  -V:

.

Властивості перетворень Лоренца

З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.

При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали б нулю.

На відміну від перетворень Галілея, перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їхнього порядку. Це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Винятком з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V1||V2, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

Історична довідка

Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона  Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником , де  — зменшення розмірів в напрямку, перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів у теорію.

Формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, першим вивів Джозеф Лармор в 1900 році, таким чином він врахував зміну масштабу часу при русі. 1904 року Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно таких перетворень, але в них ще входив невизначений множник та різні інерційні системи не розглядалися повністю рівноправними.

В 1905 Анрі Пуанкаре виправив прогалини в праці Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в працях Пуанкаре вперше трапляються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.

Виведення

В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент

Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца

Перетворення Лоренца для радіус-вектора

Інтервал. Геометричний зміст перетворень Лоренца

Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії

Перетворення Лоренца для сили

Форми запису перетворень Лоренца

Матричний запис перетворень Лоренца

Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці повороту ||Λα′β||, що переводить компоненти 4-вектора xβ системи K в компоненти 4-вектора xα′ = Λα′βxβ, системи K′:

.


Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем

У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r||:

Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′|| + r′ формули будуть виглядати так:

,
.

Гіперболічна форма запису

З математичного погляду інтервал між двома подіями ((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²-(cΔt)²) можна розглядати як аналог «відстані» між двома точками в чотиривимірному просторі Мінковського. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца мають зберігати незмінним будь-який інтервал у цьому просторі. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу і звичайних просторових поворотів. Останні (повороти системи координат у трьох площинах tx, ty, tz) і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що

,

то перетворення Лоренца для систем K та K′ із паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

ct′ = -x shψ + ct chψ,
x′ = x chψ ct shψ,
y′ = y,
z′ = z.

Ці формули відрізняються від звичних формул перетворення координат при поворотах (в евклідовому просторі) заміною тригонометричних функцій гіперболічними. У цьому виявляються відмінність псевдоевклідового простору Мінковського від звичайного евклідового.

Перетворення Лоренца для електромагнітного поля

Релятивістські перетворення для компонент векторів тензора електромагнітного поля при переході від однієї ІСВ до іншої у псевдоевклідовому просторі-часі:

,

,

де - вектор відносної швидкості між ІСВ,

.

Перетворення можна отримати, маючи вираз для сили Лоренца та вираз для перетворення 3-вектора сили при переході між ІСВ:

.

.

Із перетворень видно, що вектори напруженості та індукції не є компонентами будь-яких 4-векторів, а входять до деякого антисиметричного 4-тензору (перетворення саме такого вигляду можна отримати у рамках СТВ для антисиметричних тензорів).

Отримання перетворень для напруженості електричного поля

Перетворення Лоренца для вектора індукції магнітного поля

Інваріанти перетворень Лоренца для полів та їх зміст

Перетворення Лоренца для загального поля

Довільні стани невзаємодіючої багачастинкової системи (стани Фока) у КТП перетворюються за правилом[1]

 

 

 

 

( 1 )

де: W(Λ, p) — поворот Вігнера і D(j)(2j + 1)-вимірне представлення SO(3).

Примітки

  1. Weinberg, 2002, Chapter 3

Див. також

Література

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. — М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
  • Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.