Метрика Пуанкаре

Метрика Пуанкаре на гіперболічній рімановій поверхні - узгоджена з комплексною структурою метрика постійної від'ємної кривини на ній. На одиничному диску D задається формулою[1]

${\displaystyle ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

На будь-яку іншу поверхню S, універсальним накриттям над якою є диск, метрика Пуанкаре коректно спускається факторизацією, оскільки метрика на диску інваріантна відносно його автоморфізмів.