Множина рівня

Розглянемо 2-вимірну евклідову відстань:

$${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Множнина рівня ${\displaystyle L_{r}(d)}$ цієї функцій складається з точок, що лежать на відстані ${\displaystyle r}$ від початку координат, тобто коло. Наприклад, ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$, бо ${\displaystyle d(3,4)=5}$. Геометрично це означає, що точка ${\displaystyle (3,4)}$ приналежить колу радіуса 5 з центром в початку координат. Загальніше, сфера в метричному просторі ${\displaystyle (M,m)}$ з радіусом ${\displaystyle r}$ із центром у ${\displaystyle x\in M}$ можна означити через множину рівня ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$.

Розгляньмо функцію f чий графік виглядає як пагорб. Сині криві це множини рівня; червоні криві слідують напрямку градієнта. Обачний ходок обирає синю стежку; відважний ходок простує червоною стежкою. Зверніть увагу, що сині і червоні стежки завжди перетинаються під прямим кутом.

Теорема: Якщо функція f диференційовна, тоді в кожній точці градієнт f або рівний нулю, або перпендикулярний множині рівня f у цій точці.

Щоб збагнути, що це означає уявіть, що два скелелази в одній точці на горі. Один із них зухвалий і обирає напрямок найкрутішого схилу. Інший натомість поміркований; він не бажає ані дертись угору, ані спускатись донизу і обирає шлях уздовж якого він буде на тій самій висоті. Наша теорема стверджує, що ці скелелази розійдуться під прямим кутом.