Трансцендентне число

• Множина трансцендентних чисел континуальна.
• Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне неправильно. Наприклад, число ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена ${\displaystyle x^{2}-2=0}$.
• Міра ірраціональності майже будь-якого (в сенсі міри Лебега) трансцендентного числа дорівнює 2.

• Основа натуральних логарифмів — число e
• Число ${\displaystyle \pi }$.
• Десятковий логарифм будь-якого цілого числа, окрім чисел ${\displaystyle 10^{n}}$
• Синус, косинус, тангенс будь-якого ненульового алгебраїчного числа ${\displaystyle a}$ (згідно з теоремою Лінденманна — Веєрштрасса).

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли за допомогою діофантових наближень довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа ${\displaystyle \mathrm {e} }$ (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеман довів теорему про трансцендентність степеня числа ${\displaystyle \mathrm {e} }$ з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа ${\displaystyle \pi }$ і нерозв'язність завдання квадратури круга. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт серед сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо ${\displaystyle a\not =0}$, ${\displaystyle a}$ — алгебраїчне число і ${\displaystyle b}$  — алгебраїчне, але ірраціональне, чи правильно, що ${\displaystyle a^{b}}$  — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа є трансцендентними.

Перше доведення того, що число ${\displaystyle e}$, основа натурального логарифму, є трансцендентним, датується 1873 роком. Надалі слідуватимемо стратегії Давида Гільберта, який спростив оригінальне доведення, запропоноване Шарлем Ермітом. Ідея полягає в застосуванні методу «від супротивного».

Припустимо, що ${\displaystyle \mathrm {e} }$  — алгебраїчне число. Тоді існує скінченний набір цілих коефіцієнтів ${\displaystyle c_{0},c_{1},...,c_{n}}$, що задовольняють рівняння

${\displaystyle c_{0}+c_{1}\mathrm {e} +c_{2}\mathrm {e} ^{2}+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

Для додатнього цілого числа ${\displaystyle k}$ розглянемо наступний многочлен:

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

і помножимо обидві частини рівняння вищевказаного рівняння на

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x;}$

таким чином, отримаємо:

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)=0.}$

Це рівняння можна записати в наступній формі:

${\displaystyle P+Q=0,}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{1}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)\\Q&=c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{0}^{1}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{2}\mathrm {e} ^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right).\end{aligned}}}$

Лема 1. Існує таке ${\displaystyle k}$, для якого вираз ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$ є цілим ненульовим числом.

Доведення. Кожен доданок в ${\displaystyle P}$ є добутком цілого числа на суму факторіалів; це випливає з рівності

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x=j!,}$

яка є справедливою для будь-якого цілого додатнього ${\displaystyle j}$ (див. Гамма-функція).

Він не дорівнює нулю, оскільки для будь-якого ${\displaystyle a}$ такого, що ${\displaystyle 0<a\leq n}$, підінтегральний вираз в

${\displaystyle c_{a}\mathrm {e} ^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x}$

є добутком ${\displaystyle \mathrm {e} _{-x}}$ на суму доданків, в яких найменший степінь при ${\displaystyle x}$ дорівнює ${\displaystyle k+1}$ після заміни в інтегралі ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle x-a}$. Отримаємо суму інтегралів вигляду

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x,}$

де ${\displaystyle k+1\leq j}$, і тому вона є цілим числом, що ділиться на ${\displaystyle (k+1)!}$. Після ділення на ${\displaystyle k!}$ отримаємо 0 за модулем ${\displaystyle (k+1)}$. Проте можна записати

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}x^{k}+\cdots \right)\operatorname {d} x,}$

і тоді при діленні першого доданку на ${\displaystyle k!}$ отримаємо

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.}$

Тому при діленні кожного інтеграла в ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle k+1}$ лише перший не буде ділитися націло на ${\displaystyle k+1}$ і лише тоді, коли ${\displaystyle k+1}$ є простим числом і ${\displaystyle k+1>n}$, ${\displaystyle k+1>c_{0}}$. З цього випливає, що вираз ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$ не ділиться націло на ${\displaystyle k+1}$ і тому не може дорівнювати нулю.

Лема 2. ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$ для достатньо великих ${\displaystyle k}$.

Доведення. Зауважимо, що

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)\mathrm {e} ^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle u(x),v(x)}$  — неперервні для всіх ${\displaystyle x}$, і тому є обмеженими на проміжку ${\displaystyle [0,n]}$. Це означає, що існують константи ${\displaystyle G,H>0}$ такі, що

${\displaystyle \left|f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad }$ для ${\displaystyle \quad 0\leq x\leq n.}$

Тому кожен з інтегралів в ${\displaystyle Q}$ є обмеженим, і в найгіршому випадку

${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\right|\,\operatorname {d} x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,\operatorname {d} x=nG^{k}H.}$

Тоді можна обмежити і ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|\mathrm {e} +|c_{2}|\mathrm {e} ^{2}+\cdots +|c_{n}|\mathrm {e} ^{n}\right)=G^{k}\cdot M,}$

де ${\displaystyle M}$ є незалежною від ${\displaystyle k}$ константою. З цього випливає, що

${\displaystyle \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0,\quad }$ де ${\displaystyle k\to \infty ,}$

що завершує доведення леми.

Виберемо ${\displaystyle k}$, що задовольняє умови обох лем. Отримаємо наступне: ціле число ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$, що не дорівнює нулю, додане до нескінченно малої величини ${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$, дорівнює нулю, що неможливо. Тому наше припущення, що ${\displaystyle \mathrm {e} }$ є алгебраїчним числом, хибне; отже, ${\displaystyle \mathrm {e} }$  — трансцендентне число.

• Теорія трансцендентних чисел

• Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Фельдман Н., Алгебраические и трансцендентные числа(рос.), Квант, № 7, 1983.