Мрія другокурсника (математична тотожність)

У математиці мрія другокурсника або мрія софомора (англ. sophomore — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:

$\int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Історія

Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.

Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$ . Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей[1].

Доведення

Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.

Спочатку, подамо $x^{x}$ як:

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}$ .

Тоді

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ . Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на $0<u<\infty$ , що дає нам:

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

тому:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}$ .

Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.

Версії доведень

Початкове доведення, яке дав Бернуллі[2] і подане в сучасному вигляді[3], відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$ , але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.

Примітки

Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004). Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. с. 4, 44. ISBN 978-1-56881-136-9.
Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
Dunham, William (2005). 3: The Bernoullis (Johann and $x^{x}$ ). The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 46–51. ISBN 978-0-691-09565-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Borwein, Jonathan; Bailey, David H.; Girgensohn, Roland (2004). Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. с. 4, 44. ISBN 978-1-56881-136-9.

[2] Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381

[3] Dunham, William (2005). 3: The Bernoullis (Johann and $x^{x}$ ). The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 46–51. ISBN 978-0-691-09565-3.