Інтегрування частинами

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

для невизначеного інтеграла:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

для визначеного:

\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du

Передбачається, що знаходження інтеграла $\int v\,du$ простіше, ніж $\int u\,dv\,$ . У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

Для невизначеного інтеграла

Функції $\textstyle {\mathit {u}}$ і $\textstyle {\mathit {v}}$ гладкі, отже, можливе диференціювання:

d(u\,v)=du\,v+u\,dv

Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

\int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

u\,v=\int du\,v+\int u\,dv

Після перестановок:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

Для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

d(u\,v)=du\,v+u\,dv

\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv

\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du

Приклади

$\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$
$\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$

Іноді цей метод застосовується кілька разів:

\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=

=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C

Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C

\int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C

У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:

I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=

=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}

I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=

=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}

У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:

{\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}

Вирішивши отриману систему, одержуємо:

I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C

I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C

Див. також

Методи інтегрування виразів тригонометричних функцій

Посилання

Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 418. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.