Мінімальна довжина повідомлення

«Математична теорія зв'язку» Шеннона (1949 року) стверджує, що в оптимальному коді довжина повідомлення (у двійковому кодуванні) події ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \operatorname {length} (E)}$, де ${\displaystyle E}$ має ймовірність ${\displaystyle P(E)}$, задається як ${\displaystyle \operatorname {length} (E)=-\log _{2}(P(E))}$.

Теорема Баєса стверджує, що ймовірність (змінної) гіпотези ${\displaystyle H}$ за заданого незмінного свідчення ${\displaystyle E}$ є пропорційною до ${\displaystyle P(E|H)P(H)}$, що, за визначенням умовної ймовірності, дорівнює ${\displaystyle P(H\land E)}$. Ми хочемо (гіпотези) моделі з найвищою такою апостеріорною ймовірністю. Припустімо, що ми кодуємо повідомлення, що представляє (описує) як модель, так і дані разом. Оскільки ${\displaystyle \operatorname {length} (H\land E)=-\log _{2}(P(H\land E))}$, найімовірніша модель матиме найкоротше таке повідомлення. Це повідомлення складається з двох частин: ${\displaystyle -\log _{2}(P(H\land E))=-\log _{2}(P(H))+-\log _{2}(P(E|H))}$. Перша частина кодує саму модель. Друга частина містить інформацію (наприклад, значення параметрів або початкових умов тощо), яка при обробці моделлю дає на виході спостережені дані.

МДП природно й точно здійснює компроміс між складністю та допасованістю моделі. Складніша модель бере більше на визначення (довша перша частина), але ймовірно краще допасовується до даних (коротша друга частина). Таким чином, метрика МДП не обиратиме складнішої моделі, якщо ця модель не платитиме за себе.

Однією з причин, чому модель може бути довшою, є просто те, що різні її параметри вказано з вищою точністю, що відтак вимагає передавання більшої кількості цифр. Значна частина потужності МДП випливає з її обробки того, як точно вказувати параметри в моделі, а також різних наближень, як зробити це здійсненним на практиці. Це дозволяє їй з користю порівнювати, скажімо, модель із багатьма неточно вказаними параметрами з моделлю з меншою кількістю точніше вказаних параметрів.

• МДП можливо застосовувати для порівняння моделей різної структури. Наприклад, її найпершим застосуванням було знаходження сумішевих моделей з оптимальним числом класів. Додавання додаткових класів до сумішевої моделі завжди дозволятиме допасовувати дані з вищою точністю, але згідно МДП це мусить зважуватися з додатковими бітами, необхідними для кодування параметрів, що визначають ці класи.
• МДП є методом баєсового порівняння моделей. Вона дає кожній моделі бал.
• МДП є масштабо-інваріантною та статистично інваріантною. На відміну від багатьох баєсових методів обирання, МДП не хвилює, якщо ви перейдете від вимірювання довжини до об'єму, чи від декартових координат до полярних.
• МДП є статистично конзистентною. Для задач на кшталт задачі Неймана-Скотта (1948 року) чи факторного аналізу, де обсяг даних на параметр обмежено згори, МДП може оцінювати всі параметри зі статистичною конзистентністю.
• МДП враховує точність вимірювання. Вона використовує інформацію за Фішером (в наближенні Воллеса-Фрімена 1987 року, або інших гіпер-об'ємах в інших наближеннях), щоби оптимально дискретувати неперервні параметри. Тому апостеріорне завжди є ймовірністю, а не густиною ймовірності.
• МДП застосовують з 1968 року. Схеми кодування МДП було розроблено для декількох розподілів та для багатьох типів систем машинного навчання, включно зі спонтанною класифікацією, деревами та графами рішень, послідовностями ДНК, баєсовими мережами, нейронними мережами (наразі лише одношаровими), стисненням зображень, сегментуванням зображень та функцій тощо.

• Алгоритмічна ймовірність
• Алгоритмічна теорія інформації
• Виведення граматик
• Індуктивне висновування
• Індуктивна ймовірність
• Колмогоровська складність — абсолютна складність (в межах сталої, що залежить від конкретного вибору універсальної машини Тюрінга); МДП зазвичай є обчислюваним наближенням (для опрацювання див. статтю Воллеса та Доу 1999 року в спеціальному випуску, згаданому нижче)
• Мінімальна довжина опису — припустимо небаєсова альтернатива з можливо відмінним обґрунтуванням, яку було запропоновано 10 роками пізніше — для порівняння див., наприклад, розд. 10.2 у книзі Воллеса (посмертно) 2005 року, розд. 11.4.3, стор. 272–273 в Комлі та Доу 2005 року, та спеціальний випуск Computer Journal про колмогоровську складність № 42 (4) 1999 року.
• Лезо Оккама

• Wallace; Boulton (August 1968). An information measure for classification. Computer Journal 11 (2): 185–194. (англ.)
• Посилання на всі відомі публікації Кріса Воллеса. (англ.)
• Wallace, C.S. (May 2005). Statistical and Inductive Inference by Minimum Message Length. Information Science and Statistics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-23795-X. — приклади сторінок. (англ.)
• База даних публікацій Кріса Воллеса з пошуком. (англ.)
• Wallace, C.S.; Dowe, D.L. (1999). Minimum Message Length and Kolmogorov Complexity. Computer Journal 42 (4): 270–283. (англ.)
• Special Issue on Kolmogorov Complexity. Computer Journal 42 (4). 1999. (англ.)
• Dowe, D.L.; Wallace, C.S. (1997). Resolving the Neyman-Scott Problem by Minimum Message Length. 28th Symposium on the interface, Sydney, AustraliaComputing Science and Statistics 28: 614–618. (англ.)
• Історія МДП, остання промова Кріса Воллеса. (англ.)
• Needham, S.; Dowe, D. (2001). Message Length as an Effective Ockham's Razor in Decision Tree Induction Proc. 8th International Workshop on AI and Statistics. с. 253–260. (Показує, як добре працює Лезо Оккама, будучи інтерпретованим як МДП.) (англ.)
• Allison, L. (Jan 2005). Models for machine learning and data mining in functional programming. J. Functional Programming 15 (1): 15–32. (МДП, рухома кома та код Haskell).
• Comley, J.W.; Dowe, D.L. (April 2005). Chapter 11: Minimum Message Length, MDL and Generalised Bayesian Networks with Asymmetric Languages. У Grunwald, P.; Pitt, M. A.; Myung, I. J. Advances in Minimum Description Length: Theory and Applications. M.I.T. Press. с. 265–294. ISBN 0-262-07262-9.

[Див. також Comley, Joshua W.; Dowe, D.L. (5-8 June 2003). General Bayesian Networks and Asymmetric Languages Proc. 2nd Hawaii International Conference on Statistics and Related Fields., .pdf. (англ.) Праці Комлі та Доу 2003 та 2005 років є першими двома працями про баєсові мережі МДП із застосуванням як дискретно-, так і неперервнозначних параметрів.]

• Dowe, David L. (2010). MML, hybrid Bayesian network graphical models, statistical consistency, invariance and uniqueness. Handbook of Philosophy of Science (Volume 7: Handbook of Philosophy of Statistics). Elsevier. с. 901–982. ISBN 978-0-444-51862-0. (англ.)
• Minimum Message Length (MML), введення Ллойда Еллісона до МДП, (MML alt.). (англ.)
• Minimum Message Length (MML), дослідники та посилання. (англ.)
• Ще один вебсайт досліджень МДП. Архів оригіналу за 12 квітня 2017. (англ.)
• Сторінка Snob для сумішевого моделювання з МДП. (англ.)
• mikko.ps: Короткі ввідні слайди від Мікко Койвісто з Гельсінкі (англ.)
• Метод інформаційного критерію Акаіке (ІКА, англ. Akaike information criterion, AIC) для обирання моделі, та порівняння з МДП: Dowe, D.L.; Gardner, S.; Oppy, G. (Dec 2007). Bayes not Bust! Why Simplicity is no Problem for Bayesians. Brit. J. Philos. Sci. 58: 709–754. Архів оригіналу за 16 грудня 2008. Процитовано 8 липня 2017. (англ.)