Мінімальна поверхня Каталана

У диференціальній геометрії мінімальна поверхня Каталана — це мінімальна поверхня, вперше досліджена Еженом Шарлем Каталаном у 1855 році[1].

Catalan's minimal surface.

Вона має особливу властивість бути мінімальною поверхнею, що містить циклоїду як геодезичну. Вона також замітається сімейством параболічних кривих[2].

Параметризація

Поверхня має математичні характеристики, що виражаються параметричними рівняннями[3]:

{\begin{aligned}x(u,v)&=u-\sin(u)\cosh(v)\\y(u,v)&=1-\cos(u)\cosh(v)\\z(u,v)&=4\sin(u/2)\sinh(v/2)\end{aligned}}

Параметризацію мінімальної поверхні Каталана можна отримати при $f(z)=i{\frac {1-z^{2}}{z^{3}}},g(z)=z$ (а тоді $z=e^{u+iv}$ ) у Вейєрштрасівській параметризації мінімальної поверхні:

{\begin{aligned}x&=a\Re \left\{\int \limits _{0}^{w}(1-g(z)^{2})f(z)dz\right\}\\y&=a\Re \left\{i\int \limits _{0}^{w}(1+g(z)^{2})f(z)dz\right\}\\z&=a\Re \left\{2\int \limits _{0}^{w}g(z)f(z)dz\right\},\end{aligned}}

де $\Re \{z\}$ позначає дійсну частину $z$ .

Див. також

Поверхня Каталана

Примітки

Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 41, 1019–1023, 1855. (фр.)
Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Minimal Surfaces, Volume 1. Springer 2010 (англ.)
Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, pp. 692–693, 1997 (англ.)

Ланки

Weisstein, Eric W. "Catalan's Surface." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html
Weiqing Gu, The Library of Surfaces. https://web.archive.org/web/20130317011222/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catalan.html

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 41, 1019–1023, 1855. (фр.)

[2] Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Minimal Surfaces, Volume 1. Springer 2010 (англ.)

[3] Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, pp. 692–693, 1997 (англ.)