Неперервне відношення переваги

Неперервність відношення переваги означає, що якщо споживач віддає перевагу набору ${\displaystyle x\,\!}$ над набором ${\displaystyle y\,\!}$, то він також віддасть перевагу наборам близьким до ${\displaystyle x\,\!}$ над наборами близькими до ${\displaystyle y\,\!}$.

Відношення переваги ${\displaystyle \succeq }$ називається неперервним, якщо для довільного набору ${\displaystyle y\in X\,\!}$ множини ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \}}\,\!}$ та ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \}}\,\!}$ є замкнутими. Перша множина містить всі набори, які слабо переважають ${\displaystyle y\,\!}$ (тобто не гірші за ${\displaystyle y\,\!}$), друга – всі набори такі, що ${\displaystyle y\,\!}$ їх слабо переважає (тобто не кращі за ${\displaystyle y\,\!}$).

Еквівалентне означення можна дати використовуючи відношення сильної переваги ${\displaystyle \succ }$ – множина ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succ y{\big \}}\,\!}$ наборів кращих за ${\displaystyle y\,\!}$ та множина ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succ z{\big \}}\,\!}$ наборів гірших за ${\displaystyle y\,\!}$ повинні бути відкритими.

Останнє означення має важливий наслідок. Оскільки відкриті множини не містять своїх граничних точок, то крім множини кращих та множини гірших за ${\displaystyle y\,\!}$ наборів мусить бути ще множина наборів, які є байдужими стосовно ${\displaystyle y\,\!}$ і які розділяють перші дві множини.

Отже, з неперервності випливає, що переміщаючись від набору гіршого за довільно вибраний набір ${\displaystyle y\,\!}$ до кращого за ${\displaystyle y\,\!}$, по дорозі завжди натрапимо на набір байдужий стосовно ${\displaystyle y\,\!}$.

Якщо відношення переваги є і монотонним, і неперервним, то класи байдужості будуть гіперповерхнями. У випадку двох товарів (тобто ${\displaystyle X=R_{+}^{2}}$) класи байдужості називають кривими байдужості.

Класичним прикладом відношення переваги, що не є неперервним є лексикографічне відношення переваги.