Нерівність Юнга
Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел і таких, що справедливо:
- .
Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.
Доведення
![](../I/lossy-page1-300px-%D0%9D%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%AE%D0%BD%D0%B3%D0%B0_-_%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B0.tif.jpg.webp)
Для чи нерівність очевидна. Для , нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких ,
.
Взявши в даній нерівності одержимо, що
,
- і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.
Див. також
Джерела
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.