Нерівність Гельдера

Нехай ${\displaystyle \phi$ :[0,\infty )\to [0;\infty )} — неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ і тоді для всіх додатних ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b:}$

${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy.}$

Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо ${\displaystyle b=\phi (a).}$ Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною ${\displaystyle \phi .}$

Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:

для всіх ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ і для будь-яких додатних сталих ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b,}$

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}},}$

(1)

де ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1,}$ тобто ${\displaystyle p^{'}={\frac {p}{p-1}}.}$

Для ${\displaystyle p=p^{'}=2}$ нерівність очевидна: оскільки ${\displaystyle (a-b)^{2}\geq 0}$ і звідси ${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0,}$ з цього ${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}.}$

Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо ${\displaystyle \phi (x)=x^{p-1}.}$ Оскільки ${\displaystyle p>1}$ маємо ${\displaystyle \phi (0)=0}$ і ${\displaystyle \phi }$ є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, ${\displaystyle \phi ^{-1}(y)=y^{\frac {1}{p-1}}}$ і з леми ми отримуємо

${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}x^{p-1}dx+\int _{0}^{b}y^{\frac {1}{p-1}}dy={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}}.}$

Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли ${\displaystyle b=a^{p-1},}$ що тотожно до ${\displaystyle b^{p'}=a^{p'(p-1)}=a^{p}.}$

Покладемо ${\displaystyle a={\frac {|x_{i}|}{d_{p}(x,0)}}}$ і ${\displaystyle b={\frac {|y_{i}|}{d_{p'}(y,0)}}.}$ Завдяки (1) ми знаходимо

${\displaystyle {\frac {|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}},}$

і звідси, беручи суму по всіх ${\displaystyle i}$ від 1 до ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.}$

Отже, ${\displaystyle \Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0),}$ що і потрібно було довести.

Поклавши ${\displaystyle p=q=2}$, отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору ${\displaystyle L^{2}}$.

Розглянемо Евклідів простір ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ або ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. ${\displaystyle L^{p}}$-норма у цьому просторі має вигляд:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }}$,

тоді: ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x,y\in E}$.

Нехай ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}$ — скінченна міра на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Тоді множина всіх послідовностей ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких що

${\displaystyle \|x\|_{p}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty }$,

називається ${\displaystyle l^{p}}$. Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x\in l^{p},y\in l^{q}}$.

Нехай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — ймовірнісний простір. Тоді ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ складається з випадкових величин із скінченним ${\displaystyle p}$-м моментом: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }$, де символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:

${\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall X\in L^{p},Y\in L^{q}.}$