Нерівність трикутника
Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.
Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.
Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.
Евклідова геометрія
Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.
В трикутнику причому рівність досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка лежить строго між та .
Нормований простір
Якщо — нормований векторний простір, де — довільна множина, а — визначена на норма. Тоді за визначенням норми:
- В гільбертовім просторі, нерівність трикутника є безпосереднім єдинозворотнім нетривіальним наслідком нерівності Коші — Буняковского.
Метричний простір
Якщо — метричний простір, де — довільна множина, а — визначена на метрика. Тоді за визначенням метрики:
Обернена нерівність трикутника
Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:
Джерела
- Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Москва: Мир.