Норма (математика)

З геометричної точки зору, задання норми на ${\displaystyle V}$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі ${\displaystyle B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору ${\displaystyle V,}$ що містить нульовий вектор ${\displaystyle {\vec {0}}}$ серед своїх внутрішніх точок.

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ — це ${\displaystyle n}$-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на ${\displaystyle V}$ визначається за формулою ${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u,u)}},}$ де ${\displaystyle (u,v)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$ — це стандартний скалярний добуток на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},}$ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \|u\|=\operatorname {sup} _{i=1}^{n}|u_{i}|}$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб ${\displaystyle \{u\in \mathbb {R} ^{n}:|u_{i}|\leq 1,1\leq i\leq n\},}$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між ${\displaystyle -1}$ і ${\displaystyle 1.}$

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},}$ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \|u\|=\sum _{i=1}^{n}|u_{i}|.}$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом ${\displaystyle n}$-вимірного простору полярним до ${\displaystyle n}$-вимірного куба.