Норма (математика)
Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.
Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.
Означення норми
Нормою у векторному просторі над полем називають відображення що задовольняє наступним умовам:
- тільки при (невід'ємність)
- де — скаляр (однорідність)
- (нерівність трикутника)
Ці умови також відомі як аксіоми норми.
Властивості
За допомогою норми векторний простір одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань Зазначимо, що для будь-яких виконується метрики на векторному просторі з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.
Геометричний зміст норми
З геометричної точки зору, задання норми на — це те й саме, що і задання її одиничної кулі тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору що містить нульовий вектор серед своїх внутрішніх точок.
Приклади
Евклідова норма
Нехай — це -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на визначається за формулою де — це стандартний скалярний добуток на Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.
Супремум норма
Нехай але цього разу визначимо норму за формулою (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між і
Еквівалентність норм
Нехай — дві норми визначені на одному і тому ж просторі . Якщо існує таке дійсне що для будь-якого то норма називається підпорядкованою нормі Якщо водночас і норма підпорядкована нормі , то такі дві норми називаються еквівалентними.
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)