Нестійкість Релея — Тейлора

Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння ${\displaystyle {\vec {g}}}$ один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$. Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Надалі компоненти швидкості визначаються як ${\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}}$. Цілком очевидно, що рівноважне рішення (${\displaystyle {\vec {v}}=0}$) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g}$

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

${\displaystyle P_{0}=-\rho gz.}$

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість ${\displaystyle {\vec {v}}}$ настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком ${\displaystyle \left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}}$ в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд ${\displaystyle P=P_{0}+P'}$, де ${\displaystyle P'\ll P_{0}}$. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

${\displaystyle \quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,}$

і динамічна умова

${\displaystyle \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .}$

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

${\displaystyle z=\pm h:\quad w=0,}$

де ${\displaystyle \ zeta}$ — величина відхилення кордону від незбуреної, ${\displaystyle \sigma }$ — коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:

${\displaystyle {\vec {v}},P,\zeta \sim e^{\lambda t}e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right)},}$

де ${\displaystyle \lambda }$ — швидкість росту (інкремент) обурення, ${\displaystyle k_{x},k_{y}}$ — компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle \lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}},}$

а умова ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0}$ дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,}$

з граничними умовами:

${\displaystyle z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^{2}\zeta ,}$

${\displaystyle z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,}$

${\displaystyle z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.}$

Рішення рівняння Лапласа для тиску:

${\displaystyle P_{1}=C_{1}\cosh k\left(h-z\right),}$

${\displaystyle P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\right).}$

Константи ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора

${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,}$

звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при ${\displaystyle \lambda =0}$):

${\displaystyle k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}}$.

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів (${\displaystyle kh\gg 1}$) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

${\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}}$.

У тонких шарах (${\displaystyle kh\ll 1}$):

${\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}}$.

• Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. - С. 143-146.
• Векштейн Г.Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - С. 109-111.

• http://www.astronet.ru/db/msg/1188634