Нормальна форма Сміта

Для будь-якої матриці ${\displaystyle A}$ розміру ${\displaystyle m\times n}$ над областю головних ідеалів ${\displaystyle R}$ існують такі оборотні над ${\displaystyle R}$ матриці ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$, що ${\displaystyle BAC=diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$, де ${\displaystyle g_{i+1}}$ ділиться на ${\displaystyle g_{i}}$. Тут ${\displaystyle diag(g_{1},g_{2},....,g_{p},0,...,0)}$ позначає матрицю розміру ${\displaystyle m\times n}$ з зазначеними діагональними елементами та іншими нулями.

З теореми про нормальну форму Сміта випливає відома теорема про структуру скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів. Зокрема, якщо ${\displaystyle R}$ — кільце цілих чисел, то з нормальної форми Сміта виходить теорема про будову скінченнопороджених абелевих груп, а якщо ${\displaystyle R=F[t]}$ — кільце многочленів над алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle F}$, то з неї можна вивести теорему про жорданову форму лінійного оператора.

• Ермітова нормальна форма

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.