Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулу виду

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),}$

де ${\displaystyle (d_{i})\neq R}$ і ${\displaystyle d_{i}\vert d_{i+1}}$ (тобто ${\displaystyle d_{i+1}}$ ділиться на ${\displaystyle d_{i}}$). Порядок ненульових ${\displaystyle (d_{i})}$ визначений однозначно, як і число ${\displaystyle (d_{i})=0}$.

Таким чином, для вказання скінченнопородженого модуля M достатньо вказати ненульові ${\displaystyle (d_{i})}$ (що задовольняють двом умовам) і число рівних нулю ${\displaystyle (d_{i})}$. Елементи ${\displaystyle d_{i}}$ визначені однозначно з точністю до множення на оборотні елементи кільця і називаються інваріантними факторами.

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулю виду

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i}),}$

де ${\displaystyle (q_{i})\neq R}$ і всі ${\displaystyle (q_{i})}$ — примарні ідеали. При цьому самі ${\displaystyle q_{i}}$ визначено однозначно (з точністю до множення на оборотні елементи).

У випадку, коли кільце R є евклідовим, усі примарні ідеали — це степені простих, тобто ${\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})}$.

Багато областей головних ідеалів є також евклідовими кільцями. До того ж, доведення для евклідових кілець дещо простіше; тут наведено його основні кроки.

Лема. Нехай A — евклідова кільце, M — вільний A-модуль, а N — його підмодуль. Тоді N також вільний, його ранг не перевершує рангу M, причому існує такий базис {e₁, e₂, … e_m} модуля M і такі ненульові елементи {u₁, … u_k} кільця A, що {u₁e₁, … u_ke_k} — базис N і u_i+1 ділиться на u_i.

Доведення того, що N вільний, проводиться індукцією за m. База m = 0 очевидна, доведемо крок індукції. Нехай M₁ породжено елементами {e₁, e … _m-1}, N₁ — перетин M₁ і N — за припущенням індукції вільний. Останні координати елементів N у базисі {e₁, e … _m} утворюють підмодуль кільця A (тобто ідеал), A — кільце головних ідеалів, тому цей ідеал породжений одним елементом; якщо ідеал нульовий — N збігається з N₁, якщо ж він породжений елементом k, досить додати в базис N₁ один вектор, остання координата якого дорівнює k.

Тепер ми можемо написати матрицю з елементами з A, відповідну вкладенню N в M: у стовпцях матриці запишемо координати базисних векторів N у деякому базисі M. Опишемо алгоритм зведення цієї матриці до діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Міняючи місцями рядки і стовпці, перемістимо у верхній лівий кут ненульовий елемент a з найменшою нормою. Якщо всі елементи матриці на нього діляться — віднімаємо перший рядок від інших з таким коефіцієнтом, щоб усі елементи першого стовпця (крім першого елемента) стали нульовими; потім аналогічно віднімаємо перший стовпець і переходимо до перетворень квадрата, що залишився в правому нижньому куті, розмірність якого на одиницю менша. Якщо ж є елемент b, що не ділиться на a — можна зменшити мінімум норми за ненульовими елементами матриці, застосувавши до пари (a, b) алгоритм Евкліда (елементарні перетворення дозволяють це зробити). Оскільки норма — натуральне число, ми рано чи пізно прийдемо до ситуації, коли всі елементи матриці діляться на a. Легко бачити, що по закінченню роботи цього алгоритму базиси M і N задовольняють усім умовам леми.

Закінчення доведення. Розглянемо скінченнопороджений модуль T з системою твірних {e₁, e … _m}. Існує гомоморфізм з вільного модуля ${\displaystyle A^{m}}$ у цей модуль, який відображає базис ${\displaystyle A^{m}}$ у систему породжувальних. Застосувавши до цього відображення теорему про гомоморфізм, отримаємо, що T изоморфний фактору ${\displaystyle A^{m}/{\text{ker}}f}$. Зведемо базиси ${\displaystyle A^{m}}$ і ${\displaystyle {\text{ker}}f}$ до вигляду базисів у лемі. Легко бачити, що

${\displaystyle A^{m}/(u_{1}e_{1},u_{2}e_{2},\ldots u_{k}e_{k})\cong A/(u_{1})\oplus \ldots \oplus A/(u_{k})\oplus A^{n-k}}$

Кожен скінченний доданок тут можна розкласти в добуток примарних, оскільки кільце A факторіальне (див. статтю Китайська теорема про остачі). Щоб довести єдиність цього розкладу, потрібно розглянути підмодуль скруту (тоді розмірність вільної частини описується в інваріантних термінах як розмірність фактора за крученням), а також підмодуль p-кручення для кожного простого елемента p кільця A. Число доданків вигляду ${\displaystyle A/(p^{n})}$ (для всіх n) інваріантно описується як розмірність підмодуля елементів, які анулюються множенням на p, як векторного простору над полем ${\displaystyle A/(p)}$.