Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів

Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів є узагальненням теореми про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп. Ця теорема надає загальний спосіб розуміння деяких результатів про канонічні форми матриць.

Теорема

Якщо векторний простір над полем k має скінченну породжувальну множину, з нього завжди можна вибрати базис, так що векторний простір буде ізоморфним kn. Для скінченнопороджених модулів це вже неправильно (контрприклад , який породжується одним елементом як Z-модуль), однак такий модуль можна подати як фактормодуль виду Rn/A (щоб побачити це, досить відобразити базис Rn у породжувальну множину і скористатися теоремою про гомоморфізм). Змінюючи вибір базису в Rn і породжувальної множини в модулі, можна звести цей фактор до простого вигляду, і це дає структурну теорему.

Формулювання структурної теореми зазвичай наводять у двох різних виглядах.

Розкладання на інваріантні фактори

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулу виду

де і (тобто ділиться на ). Порядок ненульових визначений однозначно, як і число .

Таким чином, для вказання скінченнопородженого модуля M достатньо вказати ненульові (що задовольняють двом умовам) і число рівних нулю . Елементи визначені однозначно з точністю до множення на оборотні елементи кільця і називаються інваріантними факторами.

Розкладання на примарні фактори

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулю виду

де і всі  примарні ідеали. При цьому самі визначено однозначно (з точністю до множення на оборотні елементи).

У випадку, коли кільце R є евклідовим, усі примарні ідеали — це степені простих, тобто .

Начерк доведення для евклідових кілець

Багато областей головних ідеалів є також евклідовими кільцями. До того ж, доведення для евклідових кілець дещо простіше; тут наведено його основні кроки.

Лема. Нехай A — евклідова кільце, M вільний A-модуль, а N — його підмодуль. Тоді N також вільний, його ранг не перевершує рангу M, причому існує такий базис {e1, e2, … em} модуля M і такі ненульові елементи {u1, … uk} кільця A, що {u1e1, … ukek} — базис N і ui+1 ділиться на ui.

Доведення того, що N вільний, проводиться індукцією за m. База m = 0 очевидна, доведемо крок індукції. Нехай M1 породжено елементами {e1, e … m-1}, N1 — перетин M1 і N — за припущенням індукції вільний. Останні координати елементів N у базисі {e1, e … m} утворюють підмодуль кільця A (тобто ідеал), A — кільце головних ідеалів, тому цей ідеал породжений одним елементом; якщо ідеал нульовий N збігається з N1, якщо ж він породжений елементом k, досить додати в базис N1 один вектор, остання координата якого дорівнює k.
Тепер ми можемо написати матрицю з елементами з A, відповідну вкладенню N в M: у стовпцях матриці запишемо координати базисних векторів N у деякому базисі M. Опишемо алгоритм зведення цієї матриці до діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Міняючи місцями рядки і стовпці, перемістимо у верхній лівий кут ненульовий елемент a з найменшою нормою. Якщо всі елементи матриці на нього діляться — віднімаємо перший рядок від інших з таким коефіцієнтом, щоб усі елементи першого стовпця (крім першого елемента) стали нульовими; потім аналогічно віднімаємо перший стовпець і переходимо до перетворень квадрата, що залишився в правому нижньому куті, розмірність якого на одиницю менша. Якщо ж є елемент b, що не ділиться на a — можна зменшити мінімум норми за ненульовими елементами матриці, застосувавши до пари (a, b) алгоритм Евкліда (елементарні перетворення дозволяють це зробити). Оскільки норма — натуральне число, ми рано чи пізно прийдемо до ситуації, коли всі елементи матриці діляться на a. Легко бачити, що по закінченню роботи цього алгоритму базиси M і N задовольняють усім умовам леми.

Закінчення доведення. Розглянемо скінченнопороджений модуль T з системою твірних {e1, e … m}. Існує гомоморфізм з вільного модуля у цей модуль, який відображає базис у систему породжувальних. Застосувавши до цього відображення теорему про гомоморфізм, отримаємо, що T изоморфний фактору . Зведемо базиси і до вигляду базисів у лемі. Легко бачити, що

Кожен скінченний доданок тут можна розкласти в добуток примарних, оскільки кільце A факторіальне (див. статтю Китайська теорема про остачі). Щоб довести єдиність цього розкладу, потрібно розглянути підмодуль скруту (тоді розмірність вільної частини описується в інваріантних термінах як розмірність фактора за крученням), а також підмодуль p-кручення для кожного простого елемента p кільця A. Число доданків вигляду (для всіх n) інваріантно описується як розмірність підмодуля елементів, які анулюються множенням на p, як векторного простору над полем .

Наслідки

Випадок дає класифікацію скінченнопороджених абелевих груп.

Нехай T — лінійний оператор на скінченновимірному векторному просторі V над полем K. V можна розглядати як модуль над (дійсно, його елементи можна множити на скаляри та на T), зі скінченновимірності випливає скінченнопородженість і відсутність вільної частини. Останній інваріантний фактор мінімальний многочлен, а добуток усіх інваріантних факторів характеристичний многочлен. Вибравши стандартну форму матриці оператора T, що діє на просторі , отримуємо такі форми матриці T на просторі V:

Див. також

Примітки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.