Кільце многочленів

Многочленом від X з коефіцієнтами з поля K є наступний вираз

${\displaystyle p=p_{m}X^{m}+p_{m-1}X^{m-1}+\cdots +p_{1}X+p_{0},}$

де p₀, …, p_m є елементами K, а X, X ², … є формальними символами ("степенями X"). Такі вирази можна додавати та множити з подальшим приведенням до такої ж форми застосовуючи асоціативність, комутативність, дистрибутивність. Добуток степенів X визначається за формулою:

${\displaystyle X^{k}\,X^{l}=X^{k+l},}$

де k і l довільні натуральні числа. Два многочлени є рівними тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях X є рівними. За визначенням, X ¹ = X, X ⁰ = 1.

Степінь многочлена — найбільше k таке, що коефіцієнт X ^k не рівний нулю. Для нульового многочлена степінь не визначений.

Множина многочленів з коефіцієнтами з поля K утворює комутативне кільце, позначається K[X] і називається кільце многочленів над K.

Важливими випадками є многочлени з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, які розглядаються як функції. Хоча, в загальному випадку, X та степені X ^k, розглядаються як формальні символи, а не елементи поля K. Можна вважати, що K[X] утворюється з K приєднанням елемента X та вимогою, щоб X комутував зі всіма елементами K. Також потрібно включити в K всі степені від X, що приводить нас до визначення многочлена як лінійної комбінації степенів від X з коефіцієнтами з K.

Операції кільця визначаються так:

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

та

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}$

Кільце K[X] дуже подібне до кільця цілих чисел. Ця аналогія була вивчена Гаусом і служила моделлю для абстрактної алгебрив 19 столітті в роботах Кумера, Кронекера та Дедекінда.

• K[X] — область цілісності. Добуток двох ненульових многочленів не рівний нулю.

• Розклад в K[X]: довільне ціле число може бути розкладене в добуток простих чисел і цей розклад є єдиним (основна теорема арифметики). Доведення використовує алгоритм Евкліда. Гаус замітив, що для многочленів теж можливе ділення з остачею та алгоритм Евкліда, тому K[X] є кільцем Евкліда.

• Фактор-кільце K[X]: кільце K[X] утворюється з кільця K приєднанням елемента X. Довільне комутативне кільце L, що утворене з K приєднанням одного елемента може бути описаним через K[X]. Зокрема, це стосується скінченних розширеннь K.

Якщо L — комутативне кільце , що містить K і елемент θ, що не належить K. Тоді довільний елемент L є лінійною комбінацією степенів θ з коефіцієнтами з K. Тоді існує єдиний епіморфізм φ з K[X] в L що не змінює елементи K і відображає степені X на аналогічні степені θ. Тобто, L є гомоморфний образ K[X]. Ker φ є ідеалом K[X] і за першою теоремою про ізоморфізми, L ізоморфний фактор-кільцю K[X] на Ker φ. Оскільки K[X] є кільцем головних ідеалів, цей ідеал є головним: тому існує многочлен p∈K[X] такий, що:

${\displaystyle L\simeq K[X]/(p).}$

Коли L є полем, тоді многочлен p буде незвідним. І навпаки, теорема про первісний елемент стверджує, що довільне скінченне сепарабельне розширення L/K може бути утворене єдиним елеметом θ∈L іпопередній випадок надає приклад поля L як фактор-кільця K[X] по головному ідеалу утвореному незвідним многочленом p. Наприклад, поле комплексних чисел є розширенням поля дійсних чисел утворене єдиним елементом i таким, що i² + 1 = 0. Відповідно, многочлен X² + 1 є незвідним над R та

${\displaystyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1).}$