Нормальне розшарування

Нехай ${\displaystyle (M,g)}$ — ріманів многовид і ${\displaystyle S\subset M}$ — ріманів підмноговид. Для ${\displaystyle p\in S}$, вектор ${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ є нормальним до ${\displaystyle S}$ якщо ${\displaystyle g(n,v)=0}$ для всіх ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S.}$ Тобто ${\displaystyle n}$ належить ортогональному доповненню простору ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ до простору ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}M}$. Множина ${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$ нормальних векторів ${\displaystyle n}$ є векторним простором, що називається нормальним простором до ${\displaystyle S}$ в точці ${\displaystyle \displaystyle p.}$

Нормальним розшаруванням ${\displaystyle \mathrm {N} S}$ називається об'єднання всіх таких нормальних просторів:

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

Дане розшарування є векторним розшаруванням і дотичне розшарування ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ є сумою Вітні розшарувань ${\displaystyle \mathrm {T} S}$ і ${\displaystyle \mathrm {N} S.}$

Якщо задано занурення ${\displaystyle i\colon N\to M}$ многовида, то нормальне розшарування до N в M можна визначивши в кожній точці N прийнявши за нормальний простір фактор-простір дотичного простору до M по дотичному простору до N. Тобто для ${\displaystyle p\in S}$ за означенням

N_pS = Ti(s)M / T_si(T_sS).

Для Ріманового многовиду цей фактор-простір є ізоморфним ортогональному доповненню до ${\displaystyle i_{*}(\mathrm {T} _{p}S)}$ в просторі ${\displaystyle \mathrm {T} _{i(p)}M}$ і дані два означення є еквівалентними, окрема, для будь-якої пари ріманових метрик на ${\displaystyle \displaystyle M}$ визначені ними нормальні розшарування є ізоморфними.

Дані означення також дають точну послідовність:

${\displaystyle 0\to TS\to TM_{|S}\to NS\to 0.}$