Диференційовний многовид

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення

Нехай X — гаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки $x\in X$ знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору $\mathbb {R} ^{n}$ , то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара $(U,\phi )\,$ , де $\phi \,$ — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ , що називаються координатами в карті $(U,\phi )$ . Множина карт $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ називається n-вимірним $C^{k}$ -атласом $(0\leqslant k\leqslant \infty ,a)$ многовиду X, якщо:

сукупність всіх $U_{\alpha }$ покриває X, $X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$
для будь-яких $\alpha ,\beta \in A$ таких, що $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$ , відображення:

\phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

є диференційовним класу $C^{k}$ ; $\phi \,$ є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,$ в карту $(U_{\beta },\phi _{\beta })\,.$

Два $C^{k}$ -атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є $C^{k}$ -атласом. Сукупність $C^{k}$ -атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються $C^{k}$ -структурами, при $1\leqslant k\leqslant \infty$ — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений $C^{k}$ -структурою називається $C^{k}$ -многовидом, або диференційовним многовидом класу $C^{k}$ .

Комплексні многовиди

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору $\mathbb {R} ^{n}$ загальніших просторів $\mathbb {C} ^{n}$ або навіть $K^{n}\,$ , де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку $K=\mathbb {C}$ відповідна $C^{k}$ -структура, $k\geqslant 1$ , неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею $C^{\infty }$ -структура, і на $C^{k}$ -многовиді, $0\leqslant k\leqslant \infty$ , — $C^{r}$ -структура, якщо $0\leqslant r\leqslant k$ . Навпаки, будь-який паракомпактний $C^{r}$ -многовид, $r\geqslant 1$ , можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що $C^{0}$ -многовид не можна наділити $C^{1}$ -структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) $C^{1}$ -неізоморфних $C^{\infty }$ -структур на n-вимірній сфері рівно:


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Відображення

Нехай $f:X\to Y$ — неперервне відображення $C^{r}$ -многовидів X, Y; воно називається $C^{k}$ -морфізмом (або $C^{k}$ -відображенням, $k\leqslant r$ , або відображенням класу $C^{k}$ ) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\,$ на X і $(V_{\beta },\psi _{\beta })\,$ на Y такої, що $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$ і відображення:

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })

належить класу $C^{k}$ . Бієктивне відображення f таке, що воно і f^-1 є $C^{k}$ -відображеннями, називається $C^{k}$ -ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх $C^{r}$ -структури називаються $C^{k}$ -ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення

Підпростір Y n-вимірного $C^{k}$ -многовиду X називається $C^{k}$ - підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки $y\in Y$ існують її окіл $V\subset Y$ і карта $(U,\phi )\,$ $C^{k}$ -структури X такі, що $V\subset Y$ і $\phi$ індукує гомеоморфізм V на перетин $\phi (U\cap Y)$ з (замкнутим) підпростором $\mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}$ ; іншими словами, існує карта з координатами $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ така, що $(U\cap Y)$ визначається співвідношеннями $x^{m+1}=,\ldots ,=x^{n}=0$ .

Відображення $f:X\to Y$ називається $C^{k}$ -вкладенням якщо f(X) є $C^{k}$ -підмноговидом в Y, а $X\to f(X)$ — $C^{k}$ -дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний $C^{k}$ -многовид допускає вкладення в $\mathbb {R} ^{2n+1}$ і навіть в $\mathbb {R} ^{2n}.$ Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень $C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})$ щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також

Посилання

О.Пришляк Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2004. – 68 с.

Література

Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.