Обертова система відліку

Для отримання сил інерції корисно вміти конвертувати координати ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ обертової системи відліку у координати ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ інерційної системи відліку з тим самим початком координат і навпаки. Якщо обертання відбувається щодо осі ${\displaystyle z}$ з кутовою швидкістю ${\displaystyle \Omega }$ і дві системи збігаються у час ${\displaystyle t=0}$, перетворення з обертових координат у інерційні координати можна записати як:

${\displaystyle x=x'\cos \left(\theta (t)\right)-y'\sin \left(\theta (t)\right)}$

${\displaystyle y=x'\sin \left(\theta (t)\right)+y'\cos \left(\theta (t)\right)}$

тоді як зворотнє перетворення

${\displaystyle x'=x\cos \left(-\theta (t)\right)-y\sin \left(-\theta (t)\right)}$

${\displaystyle y'=x\sin \left(-\theta (t)\right)+y\cos \left(-\theta (t)\right)}$

Результат можна отримати з матриці повороту.

Введемо одиничні вектори ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},}$ що представлятимуть стандартні одиничні базисні вектори обертової системи відліку. Далі знайдемо часову похідну цих одиничних векторів у обертовій системі відліку. Припустимо, що системи відліку вирівняні в час t = 0 і z-вісь є віссю обертання. Тоді для обертання проти годинникової стрілки на кут Ωt:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$

де (x, y) компоненти виражені у стаціонарну систему відліку. Так само,

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$

Отже, часова похідна цих векторів, що обертаються без зміни величини, становить

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\$ ;}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$

де ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {d}{dt}}\theta (t)}$. Цей результат також можна отримати через векторний добуток з вектором обертання ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }},}$ який спрямований уздовж осі обертання ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega )}$, а саме,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$

де ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ це або ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},}$ або ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}$.

Ми ввели вектори ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}},}$ які представляють стандартні одиничні базисні вектори в обертовій системі відліку. По мірі обертання вони залишатимуться нормалізованими. Якщо ми дозволимо їм обертатись зі швидкістю ${\displaystyle \Omega }$ щодо осі ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }},}$ тоді кожен одиничний вектор ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ обертової системи відліку кориться такому рівнянню:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times {\hat {u}}}}\ .}$

Далі, якщо ми маємо вектор-функцію ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$,

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{x}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$

і ми хочемо дослідити її першу похідну, то ми отримуємо (використовуючи правило добутку):[1][2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{dt}}f_{x}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{dt}}f_{y}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {d{\hat {\boldsymbol {k}}}}{dt}}f_{z}}$

${\displaystyle ={\frac {df_{x}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {df_{y}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {df_{z}}{dt}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+[{\boldsymbol {\Omega \times }}(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}})]}$

${\displaystyle =\left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times f}}(t)\ ,}$

де ${\displaystyle \left({\frac {d{\boldsymbol {f}}}{dt}}\right)_{r}}$ є швидкістю зміни ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$, як це видно з обертової системи координат. Скорочено диференціювання можна виразити як:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times }}\right]{\boldsymbol {f}}\ .}$

Цей результат відомий як транспортна теорема у аналітичній динаміці і також іноді згадувана як базове кінематичне рівняння.[3]

Вектор швидкості об'єкта це часова похідна позиції об'єкта або

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

Часова похідна позиції ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ в обертовій системі відліку має дві складові, одну з явної залежності внаслідок руху самої частинки, другу з власного обертання системи відліку. Застосовуючи результат попереднього підрозділу до зміщення ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$, швидкості у двох системах відліку пов'язані таким рівнянням

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

де індекс i позначає інерційну систему відліку, а r — обертову систему відліку.

Прискорення є другою похідною по часу від позиції або перша похідна по часу від швидкості

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

де індекс i позначає інерційну систему відліку. Виконавши диференціювання і перестановку деяких членів дає нам прискорення в обертовій системі відліку

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }$

де ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ — це видиме прискорення в обертовій системі відліку, доданок ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ представляє відцентрове прискорення, а доданок ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ — це коріолісове прискорення.