Обмежений оператор

Оператор $A:X\to Y$ між двома топологічними векторними просторами називається обмеженим, якщо кожну обмежену множину топологічного векторного простору $X$ він переводить в обмежену множину топологічного векторного простору $Y$ . [1]

Дане означення можна застосовувати до лінійних і нелінійних операторів. Будь-який неперервний оператор є обмеженим.

Лінійний обмежений оператор

Для лінійного оператора часто наводять інші означення: [1]

Лінійний оператор $A:X\to Y$ називається обмеженим, якщо існує такий окіл нуля $U$ , що $A(U)$ є обмеженою множиною в $Y$ .
Лінійний оператор $A:X\to Y$ між нормованими просторами називається обмеженим, якщо існує таке додатне число $C$ , що $\|Ax\|\leq C\|x\|$ . Найменше з таких чисел $C$ позначають через $\|A\|$ і називають нормою оператора $A$ . Іншими словами,

\|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}

Зв'язок між обмеженістю і неперервністю

Справедливою є теорема про те, що лінійний обмежений оператор, який діє із одного F-простору в інший є неперервним. [2] Також це твердження буде справедливим для лінійного оператора $A:X\to Y$ із борнологічного простору $X$ у локально опуклий простір $Y$ .
Навпаки, будь-який неперервний оператор є обмеженим.[1][2] Таким чином

Див. також

Лінійний неперервний оператор

Література

Математическая энциклопедия. — Москва : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — Москва : ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.