Оператор (математика)

Опера́тор — в математиці — закон f (правило), за яким кожному елементу х множини Х (область визначення) ставиться у відповідність певний елемент y множини Y (області значень).

Еквівалентне смислове значення мають терміни: відображення, перетворення, функція. Тобто оператор — відображення з однієї множини в іншу (або і цю ж саму) які наділені певною структурою (алгебраїчними операціями, топологією, відношенням порядку).

Наприклад, нехай є дві довільні множини ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y.}$ Якщо кожному ${\displaystyle x\in X}$ відповідає єдиний елемент ${\displaystyle y\in Y,}$ то говорять, що на ${\displaystyle X}$ заданий оператор ${\displaystyle y=\Pi (x).}$ Множина ${\displaystyle X}$ називається його областю визначення, а множина ${\displaystyle Y}$ - областю значень.

Найважливішим класом операторів є лінійні оператори в лінійних нормованих просторах.

Нехай для елементів множин ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ визначені операції добутку елементів цих множин на комплексні числа й додавання цих елементів між собою. Оператор ${\displaystyle L(x)}$ називається лінійним, якщо для усяких елементів ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$

${\displaystyle L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})}$

та для будь-якого ${\displaystyle x\in X}$ й будь-якої константи ${\displaystyle C}$

${\displaystyle L(Cx)=CL(x).}$

У багатьох питаннях фізики, математики важливу роль відіграють диференціальні та інтегральні оператори. Наприклад, кожній неперервній функції ${\displaystyle f(t)}$ на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ можна поставити у відповідність інтеграл ${\displaystyle \int _{a}^{t}f(t)\,dt.}$ Областю визначення цього оператора буде сукупність неперервних на ${\displaystyle [a,b]}$ функцій, а областю значень - сукупність неперервно диференційовуваних на ${\displaystyle [a,b]}$ функцій. Добре відомим оператором є оператор диференціювання, який функції ${\displaystyle f(t)}$, визначеній на інтервалі ${\displaystyle (a,b)}$, ставить у відповідність її похідну. Цей оператор визначений вже не для усіх неперервних на ${\displaystyle (a,b)}$ функцій, а лише для диференційовуваних функцій.

Оператор зсуву ставить у відповідність функції ${\displaystyle f(t)}$, заданій на інтервалі ${\displaystyle (a,b)}$, функцію ${\displaystyle f(z),\,\,z=t-\tau ,}$ визначену на інтервалі ${\displaystyle (a-\tau ,b-\tau ).}$

Оператор Лапласа у відповідність комплекснозначній функції дійсної змінної ${\displaystyle f(t)}$ ставить функцію ${\displaystyle F(p)=\int _{0}^{\infty }f(t)\exp(-pt)\,dt}$ від комплексної змінної ${\displaystyle p.}$