Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор $A:X\rightarrow Y$ , що діє з лінійного топологічного простору $X$ у лінійний топологічний простір $Y$ — це лінійне відображення із $X$ в $Y$ , що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли $Y$ багатовимірний. Якщо $Y$ одновимірний, тобто збігається із самим полем ( $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$ ), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал[1]. Множину всіх лінійних неперервних операторів із $X$ в $Y$ позначають $L(X,Y)$ .

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості

Якщо $X$ скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому $X$ ).
Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.[2]. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
Якщо $X$ і $Y$ — банахові простори, і образ оператора $A\in L(X,Y)$ збігається з простором $Y$ , то існує обернений оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (так звана теорема про обернений оператор).
Множина всіх лінійних неперервних операторів з $X$ в $Y$ сама є лінійним топологічним простором. Якщо $X$ і $Y$ нормовані, то $L(X,Y)$ також нормована операторною нормою. Якщо $Y$ — банахів, то й $L(X,Y)$ є такою, незалежно від повноти $X$ .

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів $X$ і $Y$ . Наприклад, якщо $X$ — скінченновимірний простір, то оператор $A\in L(X,Y)$ буде цілком неперервним оператором, область його значень $R(A)$ буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці[3].

Неперервність і збіжні послідовності

Лінійний оператор $A:X\rightarrow Y$ , що діє з лінійного топологічного простору $X$ у лінійний топологічний простір $Y$ , неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності $\{x_{n}\}$ точка $X$ , із $x_{n}\rightarrow x_{0}$ випливає $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$ .

Нехай ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ збігається і $A:X\rightarrow Y$ — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

.

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо $X$ , $Y$ — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо

x_{n}\to x

слабке, то

Ax_{n}\to Ax

слабке.

Пов'язані визначення

Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$ .

Див. також

Спряжений оператор

Література

Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука, 1970. — 352 с.

Примітки

Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98.
Також, у скінченновимірному просторі $X$ із базисом $\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ , лінійний неперервний оператор $A$ можна подати у вигляді $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ , де $f_{k}\in X^{*}$ — функції зі спряженого простору.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.

[Naimark-2] Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98.

[3] Також, у скінченновимірному просторі $X$ із базисом $\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ , лінійний неперервний оператор $A$ можна подати у вигляді $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ , де $f_{k}\in X^{*}$ — функції зі спряженого простору.