Лінійне програмування

Лінійне програмування (та дослідження задачі лінійного програмування) є однією із найрозвинутишіх галузей математичного програмування та теорії оптимізації. Загальна постановка задачі лінійного програмування, та один із підходів до її розв'язання (ідея розрішаючих множників або двоїстих оцінок) вперше наведено в роботі радянського вченого Канторовича Л. В. в 1939. В цій же роботі намічено один із методів розв'язання задачі — метод послідовного зменшення нев'язок.

Зада́ча ліні́йного програмува́ння — задача оптимізації з лінійною цільовою функцією та допустимою множиною обмеженою лінійними рівностями або нерівностями.

Її можна виразити в канонічній формі:

максимізувати	${\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} }$
за умов	${\displaystyle A\mathbf {x} \leq \mathbf {b} }$
і також	${\displaystyle \mathbf {x} \geq \mathbf {0} }$

де x представляє вектор змінних (треба визначити), c і b це вектори (відомих) коефіцієнтів, A це (відома) матриця коефіцієнтів і ${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {T} }}$ це транспонована матриця. Вираз, який необхідно максимізувати або мінімізувати називають цільова функція (тут c^Tx). Нерівності Ax ≤ b і x ≥ 0 є обмеженнями, які визначають опуклий політоп над яким оптимізують цільову функцію.

Тобто, необхідно мінімізувати

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}x_{j}\to \min }$ (1)

при обмеженнях

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leq b_{i},\;i=1,\dots ,m_{1}}$, (2)

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i},\;i=m_{1}+1,\dots ,m}$, (3)

${\displaystyle x_{j}\geq 0,\;j=1,\dots ,n_{1}}$, (4)

де c_j (j = 1, …, n), a_ij(i = 1, …, m) — задані числа.

Задача максимізації функції (1) зводиться до задачі мінімізації шляхом заміни знаків всіх коефіцієнтів c_j на протилежні.

• Метод потенціалів — розроблений в 1940 радянськими вченими Канторовичем та Гавуріним Л. В. в застосуванні до транспортної задачі;
• Симплекс-метод — цей метод є узагальненням методу потенціалів для випадку загальної задачі лінійного програмування. Розроблений американським вченим Данциґом Дж.-Б. в 1949 році.
• Двоїстий симплекс-метод розроблений згодом після прямого симплекс-методу, і який є, за сутністю, симплекс-методом розв'язання двоїстої задачі лінійного програмування, але сформульованої в термінах вихідної задачі.

Усі ці методи скінченні. Крім того, існують, також, ітеративні методи розв'язання, які дають можливість обчислювати розв'язки задачі із наперед заданою точністю.

Близький зв'язок між лінійним програмуванням та теорією ігор дає змогу використовувати для розв'язання задач лінійного програмування чисельні методи теорії ігор.

Інша група ітеративних методів характеризується заміною вихідної задачі на еквівалентну їй задачу опуклої оптимізації без обмежень, для розв'язання якої використовуються різноманітні градієнтні методи.

Для розв'язання задач лінійного програмування з великою кількістю змінних та обмежень використовують методи декомпозиції, які дають змогу замість вихідної задачі розв'язувати послідовність задач меншого обсягу.

Методів лінійного програмування недостатньо при накладанні додаткового обмеження цілочисельністі значень змінних. Вивченням таких задач займається цілочисельне програмування.

Поряд з основною задачею лінійного програмування, розглядають різноманітні окремі задачі лінійного програмування, такі як транспортні, задачі розподілу, задачі теорії розкладів, вибору тощо.

Лінійне програмування можна застосувати у різноманітних галузях науки. Його використовують в економіці і бізнесі, але можна використати і в інженерних задачах. Серед галузей які використовують лінійне програмування можна згадати перевезення, енергетику, телекомунікації і виробництво. Воно довело свою корисність у моделюванні різних типів проблем у плануванні, маршрутизації, призначенні задач і дизайні.

• Цілочислові задачі лінійного програмування
• Задача математичного програмування
• Задача оптимізації
• Опорний план
• Модель «витрати — випуск»
• Геометричне програмування

• Енциклопедія кібернетики, Трубін В. А., т. 2, с. 232-234.

• Цегелик Г.Г. Лінійне програмування. – Львів: Світ, 1995. – 215 с. – ISBN 5-7773-0217-3

• Linear Program Solver (LiPS) — розв'язувач задач лінійного цілочисельного программирования.
• Двоїстість у лінійному програмуванні - тлумачення.
• Динамічні математичні моделі^{[недоступне посилання з липня 2019]}