Ортогональна траєкторія

Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо ${\displaystyle y_{1}'}$ — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а ${\displaystyle y_{2}'}$ — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то ${\displaystyle y_{1}'}$ і ${\displaystyle y_{2}'}$ повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності:

${\displaystyle y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}}$

Нехай у нас є сімейство кривих ${\displaystyle g(x,y)=C}$, де ${\displaystyle C}$ — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0}$

Використовуючи визначення градієнта, можна записати:

${\displaystyle \nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

Таким чином:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0}$