Тангенціальний трикутник

Тангенціальний по латині означає дотичний, хоча термін дотичний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ може мати і кілька більш загальний сенс, як трикутник, на сторонах якого лежать вершини даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.

Трикутні координати вершин тангенціального трикутника

${\displaystyle A'=-a:b:c}$

${\displaystyle B'=a:-b:c}$

${\displaystyle C'=a:b:-c}$

• Сторони тангенціального трикутника ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
• Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотрикутника.
• Вписане в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ коло є описаним колом по відношенню до даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Центр вписаного в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ кола збігається з центром кола, описаного близько даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Зв'язок між кутами тангенціального трикутника і даного трикутника ΔABC

${\displaystyle \ A'=\pi -2A;}$ ${\displaystyle \ B'=\pi -2B;}$ ${\displaystyle \ C'=\pi -2C.}$

• Центр вписаного в тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ кола збігається з центром кола, описаного близько даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$.
• Для даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ його тангенціальний трикутник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ і Ортотрикутник ${\displaystyle \Delta A''B''C''}$ подібні.
• Площа даного трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$ дорівнює середньому геометричному між площами тангенціального трикутника і Ортотрикутника.
• Площа тангенціального трикутника дорівнює [1]:

${\displaystyle S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}$

де ${\displaystyle S}$ - площа трикутника ${\displaystyle \Delta ABC}$; ${\displaystyle a,b,c}$ - його відповідні сторони.

Або[2]

${\displaystyle S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|}$

• Сторони тангенціального трикутника дорівнюють[2]

${\displaystyle a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

Наступна таблиця дає відповідність чудових точок тангенціального трикутника з центрами вихідного трикутника. X_n означає індекс чудової точки в списку Кімберлінга [3].

• Ортотрикутник
• Подерний трикутник
• Описаний багатокутник