Трикутник трьох зовнішніх бісектрис

Трикутник трьох зовнішніх бісектрис (трикутник центрів зовнівписаних кіл) $\Delta J_{A}J_{B}J_{C}$ - трикутник, утворений точками перетину зовнішніх бісектрис один з одним в центрах зовнівписаних кіл вихідного трикутника. (Див. Рис.)

Трикутник трьох зовнішніх бісектрис

\Delta J_{A}J_{B}J_{C}

Еліпс Мандарта

Властивості

Центр кола, що проходить через центри $J_{A},J_{B},J_{C}$ зовнівписаних кіл, є точкою Бевена.
Вихідний трикутник $\Delta ABC$ є Ортотрикутником для трикутника зовнішніх бісектрис.
Описане коло вихідного трикутника є для трикутника зовнішніх бісектрис колом Ейлера.
Описане коло вихідного нерівнобедреного (в загальному випадку) трикутника перетинає сторони трикутника зовнішніх бісектрис в шести різних точках. Три з них є вершинами вихідного трикутника, а три інших ділять сторони трикутника зовнішніх бісектрис навпіл (див. Властивості кола Ейлера).
Точка перетину симедіана трикутника трьох зовнішніх бісектрис є центром еліпса Мандара вихідного опорного трикутника.

Вісь зовнішніх бісектрис або антиортова вісь (antiorthic axis) - трилінійна поляра центру вписаного кола (інцентра) трикутника ABC)

Всі три підстави D, E і F трьох зовнішніх бісектрис відповідно AD, CE і BF зовнішніх кутів Ортотрикутника $ABC$ для трикутника трьох зовнішніх бісектрис $J_{1},J_{2},J_{3}$ лежать на одній прямій, званої віссю зовнішніх бісектрис або антиортовою віссю DEF (antiorthic axis) Ортотрикутника $ABC$ (див. рис.). Ця вісь також є трилінійною полярою центру вписаного кола (інцентра).

Властивості подібності родинних трикутників

Вихідний трикутник $\Delta ABC$ по відношенню до Ортотрикутнику є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
Ортотрикутник трикутника трьох зовнішніх бісектрис, а також трикутник трьох зовнішніх бісектрис Ортотрикутника збігаються між собою і збігаються з вихідним трикутником.
Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні.
Ортотрикутник Ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.

Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників

Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам Ортотрикутник, проти яких вони лежать.
Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотрикутник.
Нехай, точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, тоді вийде трикутник Жергонна, і в отриманому трикутнику проведено висоти. В цьому випадку прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.

Див. також

Примітки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.