Остійність

При малих нахилах у поперечній площині лінії дії сил плавучості перетинають вертикальну площину симетрії, що проходить через центр ваги у точці m, що носить назву метацентр (у цьому випадку — поперечний метацентр). Поперечний метацентр можна ще визначити як центр кривини кривої, уздовж якої переміщається центр величини при нахилах в поперечній площині. У загальному випадку нахилення (на великий кут і в будь-якій площині) центр величини описує деяку складну криву, і метацентр займає різні положення. При малих кутах нахилу в поперечній площині можна вважати, що центр величини переміщається по дузі кола, а поперечний метацентр займає постійне місце в діаметральній площині.

Радіус кривини траєкторії, по якій переміщується центр величини при поперечних нахилах називається поперечним метацентричним радіусом r. Тобто — це відстань r = mC між поперечним метацентром і центром величини.

В результаті зміщення центру величини при нахиленні судна сила ваги і сила плавучості утворюють пару сил. Якщо центр ваги розташований нижче за метацентр то момент m_в, що виникає, діє в бік відновлення рівноваги судна. Тоді кажуть, що судно є остійним. В іншому випадку момент може бути нульовим або таким, що сприяє перекиданню — тоді судно стає неостійним.

Перевищення поперечного метацентра (z_m) над основною площиною, місце розташування центра величини (z_c), а також величина поперечного метацентричного радіуса r у значній мірі визначають остійність судна та залежать від величини його водотоннажності, форми корпуса і посадки. Залежність величини поперечного метацентричного радіуса від форми корпуса (величини площі ватерлінії та її форми) і об'ємної водотоннажності має такий вигляд:

${\displaystyle {r}={\frac {I_{\mathrm {x} }}{V}}\,}$ , (1)

де I_x — момент інерції площі дійсної ватерлінії відносно поздовжньої осі, що проходить через центр її ваги, м⁴; V — об'ємна водотоннажність (занурений об'єм), м³.

З розгляду трьох можливих варіантів дії сил Р і γV на судно при нахилах можна зробити висновок, що для забезпечення остійності положення рівноваги судна необхідно, щоб метацентр знаходився вище за центр ваги. Тому перевищення поперечного метацентра над центром ваги виділяється в особливу величину і носить назву поперечної метацентричної висоти h. Величина h може бути виражена як:

${\displaystyle h=\ z_{m}-z_{g}\,}$ , (2)

де z_m і z_g висоти метацентра і центра ваги над основною площиною, відповідно.

Величина відновного моменту залежить від ваги судна і плеча поперечної остійності. З трикутника GmZ плече остійності може бути виражене через поперечну метацентричну висоту GZ = m_G sinθ = h sinθ. Тоді відновний момент буде визначатись формулою:

${\displaystyle m_{\mathrm {\theta } }=\ Ph\cdot \sin \theta \,}$ , (3)

котра носить назву метацентричної формули поперечної остійності. При малих кутах крену, коли можна вважати, що sin θ = θ в радіанах, відновний момент визначається за лінійною метацентричною формулою: m_θ = Ph θ.

Таким чином, величина відновного моменту, що визначає опірність судна відхиленням, визначається, в свою чергу, величиною поперечної метацентричної висоти.

Підставляючи в метацентричну формулу поперечної остійності h = r − а, та замінюючи r його значенням за формулою (1), а також Р = γV отримуємо:

m_θ = P(r − a) sinθ = Pr sinθ − Pa sinθ

і остаточно

${\displaystyle m_{\mathrm {\theta } }=\ \gamma I_{\text{x}}\cdot \sin \theta -Pa\cdot \sin \theta \,}$ , (4)

Перший член у виразі (4) в основному визначається величиною і формою площі ватерлінії і тому називається моментом остійності форми: m_ф = γ I_x sin θ. Момент остійності форми завжди є додатною величиною і намагається повернути нахилене судно у вихідне положення.

Другий член у формулі (4) залежить від ваги P і перевищення центру ваги над центром величини a і називається моментом остійності ваги m_в = − Pa sin θ. Момент остійності ваги для випадку високого розташування центру ваги (z_g > z_с) є величиною від'ємною, і діє в напрямку збільшення нахилу.

Фізична сутність моменту остійності форми і моменту остійності ваги розкривається за допомогою схеми, на якій показана система сил, що діють на нахилене судно. З нахиленого борту у воду входить додатковий об'єм v₁, що утворює додаткову «виштовхувальну» силу плавучості. З протилежного боку з води виходить об'єм v₂, що намагається занурити цей борт. Обидві сили працюють на випрямлення.

Занурений об'єм V₁, що відповідає посадці по ватерлінію B₁Л₁, може бути поданий у вигляді алгебраїчної суми трьох об'ємів

V_l = V + v₁ − v₂,

де: V — занурений об'єм при початковій посадці по ватерлінію;

v₁ — клиноподібний занурений об'єм, а v₂ — клиноподібний об'єм, що виринув з води.

Відповідно до цього і силу плавучості γV₁ можна замінити трьома складовими силами γV, γv₁, γv₂, прикладеними в центрах величини об'ємів V, v₁, v₂. Ці три сили разом із силою тяжіння Р утворюють дві пари Р − γV і γv₁ − γv₂, що еквівалентні парі Р − γV₁. Відновний момент дорівнює сумі моментів цих двох пар

m_θ = m (γv₁, γv₂) + m (γV, P).

Момент сил плавучості клинових об'ємів v₁ та v₂ є моментом остійності форми. Чим ширшим є корпус в районі ватерлінії, тим більшими є клинові об'єми та їхні плечі при нахилах у поперечній площині, тим більшим є момент остійності форми. Величина моменту остійності форми визначається в основному моментом інерції площі, охопленої ватерлінією відносно поздовжньої осі I_x. А момент інерції I_x є пропорційним квадрату ширини площі ватерлінії.

Момент пари сил Р та γV є моментом остійності ваги. Він обумовлений розбіжністю точок прикладання сил тяжіння і плавучості (G та С) у вихідному положенні рівноваги, внаслідок чого при нахилах лінії дії цих сил розходяться, і сили Р і γV утворюють пару.

Початкова точка O, вона ж зазвичай точка рівноваги. У момент, коли крен Θ = 0, спрямляючий момент відсутній GZ = 0. Якщо у силу якихось причин початкова остійність негативна, точка рівноваги може не збігатися з початком координат. Тоді GZ = 0 при Θ = Θ₁.

Точка максимуму — це значення кута, при якому спрямляючий момент досягає максимуму GZ_max. До цього кута подальший нахил викликає зростання моменту. Після досягнення максимуму нахил супровджується зменшенням моменту, до досягнення третьої характерної точки:

Точка закочення C — відповідає куту, при якому спрямляючий момент спадає до нуля GZ = 0. Відповідає умові перекидання судна, оскільки спрямляючі сили відсутні. Для звичайних водотоннажних суден кут закочування (статичний) знаходиться в межах 65…75°. Для кілевих яхт — в області 120…125°.

Кривина — характеризує інтенсивність наростання спрямляючого моменту. Дотична до кривої остійності у точці O характеризує початкову метацентричну висоту. Ордината дотичної для кута Θ = 1 рад дорівнює метацентричній висоті h (GM).

Площа під кривою для поточного кута B характеризує роботу A відновного моменту і є мірою динамічної остійності.

• Нормальна. Характерна для більшості водотоннажних суден з нормальною метацентричною висотою, наприклад, для суховантажних суден.
• S-подібна (з перегином). Характерна для суден із зменшеною метацентричною висотою, наприклад, для високобортних пасажирських суден.
• З від'ємною початковою остійністю. Не є характерною для більшості суден. Виникає у випадку, коли початкова остійність негативна. Судно при цьому плаває в рівновазі не на рівний кіль, а з креном Θ₁, що відповідає точці перетину кривої і осі Θ. Наприклад, така діаграма буває у лісовозів, що йдуть у перегруз або суден, які мають вільні поверхні в танках. Правилами всіх найбільших світових класифікаційних товариств (наприклад, Регістр Ллойда, Регістр судноплавства України, Російський Морський Регістр Судноплавства тощо) заборонена експлуатація суден, які мають метацентричну висоту меншу за 0,2 м (і, в тому числі, суден з негативною початковою остійністю). Початкова остійність судна може стати негативною або внаслідок аварії, або внаслідок посадового порушення правил експлуатації з боку капітана судна.

Вертикальне переміщення вантажу

Горизонтально-поперечне переміщення вантажу

Переміщення вантажу р у довільному напрямі з точки g1 (x1, y1, z1) у точку g2 (x2, y2, z2) можна замінити трьома послідовними переміщеннями паралельними до осей координатної системи oxyz на відстані x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1. Ці переміщення називаються відповідно горизонтально-проздовжнім, горизонтально-поперечним і вертикальним.

При вертикальному переміщенні вантажу відбувається переміщення сили р вздовж лінії її дії. Рівновага судна при цьому не порушується, посадка не змінюється, тобто величина і форма зануреного об'єму залишаються сталими. Тому центр величини, поперечний і поздовжній метацентри не змінюють свого розташування. Центр ваги переміщується вгору з точки G в точку G₁ на відстань δZ_g, прямо пропорційну до ваги переміщеного вантажу р і величині переміщення z2 − z1 та обернено пропорційну до ваги судна:

${\displaystyle \delta Z_{\text{g}}={\frac {p}{P}}\ (z2-z1).}$

Проздовжня і поперечна метацентричні висоти змінюються на одну і ту ж величину:

δh = δH = − δZ_g.

Величина приросту поперечного і поздовжнього коефіцієнтів остійності також є однаковою:

δК_θ = P•δh и δК_ψ = P•δH, або

δК_θ = δК_ψ = − р (z2 − z1).

Метацентричні висоти і коефіцієнти остійності після переміщення вантажу набувають значень:

h₁ = h + δh;

H₁ = Н + δH;

К_θ1 = К_θ + δК_θ;

К_ψ1 = К_ψ + δ_Кψ ,

причому переміщення вниз відповідає позитивним приростам, а вгору — негативним. Тобто при переміщенні вантажу вгору остійність зменшується, а при переміщенні вниз — збільшується. Оскільки поперечні і поздовжні прирощення однакові, а метацентричні висоти різні, впливи вертикальних переміщень на поперечну і подовжню остійність сильно розрізняються. Для поздовжньої остійності δH становить лише малу частку від Н. Для поперечної можливі ситуації, коли h ≈ δh, тобто спостерігатиметься повна втрата (або відновлення) остійності.

Вплив горизонтально-поперечного переміщення вантажу

При горизонтально-поперечному переміщенні вантажу з точки А в точку В судно крениться від прямого положення рівноваги (ватерлінія ВЛ) на кут θ (ватерлінія B₁Л₁). Таке переміщення вантажу можна подати так, як, нібито вантаж у точці В знято (сила р спрямована у протилежний бік — вгору), а у точці E прийнято.

Нахилу протидіє відновний момент m_θ = Ph•sinθ. Судно перебуватиме у рівновазі тоді, коли нахиляючий і відновний моменти зрівняються:

m_кр = m_θ, тобто

Ph•sinθ = p l_y cosθ,

де l_y = BE. Звідси визначається кут крену рівноважного стану:

${\displaystyle tg\theta ={pl_{\text{y}}}{Ph}\,}$

Переміщення вантажу викликає зсув центру ваги судна в бік переміщення вантажу на відстань GG₁ = p l_y / P. Центр величини при нахилення переміщується в бік нахилу до тих пір, доки не опиниться на одній вертикалі з центром ваги (друга умова рівноваги).

Поперечна метацентрична висота після перенесення вантажу визначається з трикутника GmG₁:

${\displaystyle h_{\text{1}}=mG_{\text{1}}={\frac {h}{\cos \theta }}\,}$

При малих кутах нахилу cosθ ≈ 1; h₁ ≈ h, тобто початкова поперечна остійність при горизонтально-поперечному переміщенні вантажу практично не змінюється.

Вплив горизонтально-поздовжнього переміщення вантажу

Формули для визначення посадки і остійності у випадку горизонтально-поздовжнього переміщення вантажу виводяться аналогічно до попередніх. З рівняння залежності диферентуючого моменту від переміщення вантажу М_диф = p (x1 − x2) cosψ і відновного моменту М_ψ = PH sinψ визначається кут диференту, який отримає судно після переміщення вантажу:

${\displaystyle tg\psi ={pl_{\text{x}}}{PH}\,}$

Початкова поздовжня остійність від горизонтально-поздовжнього переміщення вантажу також практично не змінюється.

Прийняття або зняття вантажів змінює як навантаження судна (вагу і координати центра ваги), так і його занурений об'єм (його величину, форму, координати центра величини).

Прийняття вантажу у довільне місце можна подати як прийняття цього вантажу без зміни крену і диференту, а потім перенесення його у призначене місце. Умовою незмінності крену і диференту при прийнятті вантажу р є розташування його центру ваги на одній вертикалі з центром величини додатково зануреного у воду об'єму δV, що дорівнює p/γ, де γ — питома вага води. При прийнятті відносно малого вантажу можна вважати, що для уникнення крену і диференту він повинен бути поміщений на одну вертикаль з центром ваги F вихідної площини ватерлінії.

Вплив переміщень вантажу на остійність і посадку розглянуто вище. Для визначення метацентричних висот після прийняття вантажу потрібно знайти координати центра ваги z_g1, і метацентрів z_c1 + r₁ та z_c1 + R₁. Нове розташування центра ваги знаходиться з умови рівності статичних моментів сил тяжіння відносно основної площини.

У загальному випадку прийому чи зняття декількох вантажів нове положення центру ваги визначається за формулою:

z_g1 = (Pz_g ± ∑p_iz_pi) /P₁,

де: p_i — вага прийнятого або знятого окремо вантажу, при цьому вантаж, що приймається береться зі знаком плюс, а, що знімається — зі знаком мінус; z_pi — апліката центра ваги прийнятого чи знятого вантажу.

У випадку прийняття відносно невеликих вантажів (менше 10 % водотоннажності) на надводний корабель (судно) вважається, що форма і площа дійсної ватерлінії не змінюються, а занурений об'єм лінійно залежить від осадки — тобто приймається гіпотеза прямобортності. Тоді коефіцієнти остійності виражаються як:

δK_θ = р (Т + δТ/2 − zp + dI_x/dV)

δK_ψ = р (Т + δТ/2 − zp + dI_yf/dV)

У складніших випадках використовується діаграма плавучості і початкової остійності, з якої знімають значення зануреного об'єму, метацентричного радіуса, координат центра ваги і центра величини в залежності від осадки. Її використання є характерним для визначення остійності апаратів занурення, наприклад підводних човнів.

Усі розглянуті вище випадки припускають, що центр ваги судна є нерухомим, тобто немає вантажів, що переміщалися б при появі нахилу. Але коли такі вантажі є, їх вплив на остійність суттєво більший від решти видів вантажів.

Типовим випадком є рідкі вантажі (паливо, масло, баластова чи котельна вода) в цистернах, заповнених частково. Такі вантажі здатні переливатися при нахилах. Якщо рідкий вантаж заповнює цистерну повністю, він еквівалентний твердому закріпленому вантажу.

Вплив вільної поверхні на остійність

Якщо рідина заповнює цистерну не повністю, тобто має вільну поверхню, що займає завжди горизонтальне положення, то при нахилі судна на кут θ рідина переливається в бік нахилу. Вільна поверхня розміститься під таким же кутом відносно конструктивної ватерлінії.

Рівні рідкого вантажу відтинають однакові за величиною об'єми цистерн, тобто вони є подібним рівнооб'ємним ватерлініям. Тому момент, що називають переливанням рідкого вантажу при крені δm_θ, можна виразити аналогічно до моменту остійності форми m_ф, тільки δm_θ є протилежним до m_ф за знаком:

δm_θ = − γ_р i_xθ,

де i_x — момент інерції площі вільної поверхні рідкого вантажу відносно поздовжньої осі, що проходить через центр ваги цієї площі, γ_р — питома вага рідкого вантажу.

Тоді відновний момент при наявності рідкого вантажу з вільною поверхнею:

m_θ1 = m_θ + δm_θ = Phθ − γ_р i_xθ = P(h − γ_р i_x /γV)θ = Ph₁ θ,

де h — поперечна метацентрична висота за відсутності переливання, h₁ = h − γ_р i_x /γV — фактична поперечна метацентрична висота.

Вплив вантажу, що переливається дає поправку на поперечну метацентричну висоту δ h = − γ_р i_x /γV.

Густини води і рідкого вантажу відносно стабільні, тобто основний вплив на поправку надає форма вільної поверхні, точніше її момент інерції. А значить, на поперечну остійність в основному впливає ширина, а на поздовжню довжина вільної поверхні.

Фізичний зміст від'ємного значення поправки в тому, що наявність вільних поверхонь завжди зменшує остійність. Тому вживаються організаційні та конструктивні заходи для їх зменшення:

1. Повна запресовка цистерн, щоб не допускати вільних поверхонь.
2. Якщо це неможливо, робиться заповнення під горловину, або навпаки, тільки на дні. У цьому випадку будь-який нахил різко зменшує площу вільної поверхні.
3. Контроль числа цистерн, що мають вільні поверхні.
4. Розбивка цистерн внутрішніми непроникними перегородками, з метою зменшення моменту інерції вільної поверхні i_x