Парадокс субмарини

Весь розгляд можна вести в рамках спеціальної теорії відносності, переходячи в рухому систему відліку, що рухається з прискоренням (у якій зручно ввести координати Ріндлера). Простіше, однак, розглянути все з інерціальної системи відліку, де прискорення рідини викликається будь-якою причиною, наприклад, рідина електрично заряджена і знаходиться в електричному полі, або її підпирає стінка, що рухається з прискоренням. Важливо, що ця причина не прискорює субмарину - наприклад, підводний човен нейтрально заряджений, або не контактує зі стінкою. Обмежимося початковим моментом часу, коли рідина в спокої, а швидкість субмарини дорівнює 0 для «нерухомого» випадку, і ${\displaystyle v}$ (з відповідним ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$) для «рухомого».

З точки зору інерціальних спостерігачів прискорення підводного човна (не важливо, у спокої або в русі) викликається передачею імпульсу від молекул рідини до молекул підводного човна - це мікроскопічне визначення тиску. Ця передача пропорційна площі поверхні рідини, що контактує з субмариною, і відповідно зменшується в ${\displaystyle \gamma }$ раз при скороченні підводного човна через його рух. Тому передача імпульсу дорівнює ${\displaystyle {\frac {dp_{0}}{dt}}}$ для «нерухомої» субмарини, і ${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {dp_{0}}{dt}}}$ для «рухомої». Тепер нескладно обчислити прискорення, які отримують субмарини в початковий момент: для «нерухомого» підводного човна це буде величина, що за умовою збігається з прискоренням рідини

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{0}}{dt}},}$

де ${\displaystyle m}$ - маса субмарини, а для «рухомого»

${\displaystyle a={\frac {1}{\gamma m}}{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{\gamma ^{2}m}}{\frac {dp_{0}}{dt}}={\frac {a_{0}}{\gamma ^{2}}},}$

де враховано, що підводний човен прискорюється перпендикулярно напряму свого руху. Як видно, прискорення «рухомої» субмарини менше, ніж нерухомої - вона потоне.

Тепер розглянемо ситуацію в системі відліку, де підводний човен «нерухомий», але рухається рідина. Щільність рідини через її релятивістське скорочення зросте, що збільшить силу Архімеда в ${\displaystyle \gamma }$ раз, тобто передача імпульсу стане дорівнює ${\displaystyle {\frac {dp'}{dt'}}=\gamma {\frac {dp_{0}}{dt}}}$, що викличе прискорення субмарини

${\displaystyle a_{s}'={\frac {1}{m}}{\frac {dp'}{dt'}}=\gamma a_{0}.}$

Однак при переході в цю інерційну систему відліку прискорення рідини також зміниться. Виділивши в рідині деякий рівень, маємо у вихідній системі його рівняння руху ${\displaystyle z=a_{0}t^{2}/2}$, а в новій, згідно з перетворенням Лоренца для розташування підводного човна ${\displaystyle x=vt\Rightarrow t=\gamma t'}$, отримуємо ${\displaystyle z'=z=a_{0}t^{2}/2=a_{0}\gamma ^{2}t'^{2}/2=a't'^{2}/2,}$ тобто прискорення рівня рідини, який вимірюється з субмарини, так само ${\displaystyle a_{l}'=\gamma ^{2}a_{0}}$. Воно більше прискорення підводного човна - він потоне.

Точно такий же результат виходить, якщо взяти правильне рівняння гіперболічного руху ${\displaystyle z=c/a{\sqrt {c^{2}a^{2}t^{2}}}-c^{2}/az_{0}}$ замість наближеного, вірного лише поблизу ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle z=a_{0}t^{2}/2}$. Є ще певний ефект, пов'язаний з порушенням одночасності прискорення різних частин рідини відносно системи відліку субмарини, але він може бути зведений до величини, якою можна знехтувати, вибором малого прискорення та/або розміру субмарини в напрямку руху.

• George E. A. Matsas. Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the «submarine paradox». Phys. Rev. D68 (2003) 027701
• Теория относительности топит субмарины